学位
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博士（数理科学） （ 2011年3月 東京大学 ）
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修士（数理科学） （ 2008年3月 東京大学 ）
キタヤマ タカヒロ
北山 貴裕
KITAYAMA TAKAHIRO
所属
学部 総合数理学部 専任教授
職名
専任教授
外部リンク
研究キーワード
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トーション不変量
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指標多様体
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Morse-Novikov理論
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3次元多様体
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離散群
研究分野
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自然科学一般 / 幾何学 / 位相幾何学
学歴
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東京大学 大学院数理科学研究科 数理科学専攻博士課程
2008年4月 - 2011年3月
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東京大学 大学院数理科学研究科 数理科学専攻修士課程
2006年4月 - 2008年3月
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東京大学 理学部 数学科
2004年4月 - 2006年6月
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東京大学 教養学部 理科一類
2002年4月 - 2004年3月
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富山県立富山高等学校
1999年4月 - 2002年3月
経歴
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明治大学 総合数理学部 教授
2026年4月 - 現在
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東京大学 大学院数理科学研究科 准教授
2016年4月 - 2026年3月
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東京工業大学 大学院理工学研究科 助教
2013年10月 - 2016年3月
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東京大学 大学院数理科学研究科 特任助教
2012年12月 - 2013年9月
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日本学術振興会 特別研究員PD（京都大学数理解析研究所）
2011年4月 - 2012年12月
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日本学術振興会 特別研究員DC1（東京大学大学院数理科学研究科）
2008年4月 - 2011年3月
所属学協会
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日本数学会
委員歴
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トポロジー連絡会議, 構成員
2026年4月 - 現在
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日本数学会 全国区代議員（評議員）
2023年4月 - 2024年3月
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日本数学会 地方区代議員（代議員）
2018年4月 - 2019年3月
論文
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Blanchfield pairings and Gordian distance 査読
Stefan Friedl, Takahiro Kitayama, Masaaki Suzuki
International Journal of Mathematics 35 ( 13 ) 2024年7月
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On Adjoint Homological Selmer Modules for <b>SL</b>2-Representations of Knot Groups 査読
Takahiro Kitayama, Masanori Morishita, Ryoto Tange, Yuji Terashima
International Mathematics Research Notices 2023 ( 23 ) 19801 - 19826 2022年9月
-
Homotopy ribbon concordance, Blanchfield pairings, and twisted Alexander polynomials 査読
Stefan Friedl, Takahiro Kitayama, Lukas Lewark, Matthias Nagel, Mark Powell
Canadian Journal of Mathematics 74 ( 4 ) 1137 - 1176 2022年8月
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A Survey of the Thurston Norm 招待 査読
Takahiro Kitayama
In the Tradition of Thurston II 149 - 199 2022年3月
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Character varieties of higher dimensional representations and splittings of 3-manifolds 査読
Takashi Hara, Takahiro Kitayama
Geometriae Dedicata 213 ( 1 ) 433 - 466 2021年1月
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Representation varieties detect essential surfaces 査読
Stefan Friedl, Takahiro Kitayama, Matthias Nagel
Mathematical Research Letters 25 ( 3 ) 803 - 817 2018年8月
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On certain 𝐿-functions for deformations of knot group representations 査読
Takahiro Kitayama, Masanori Morishita, Ryoto Tange, Yuji Terashima
Transactions of the American Mathematical Society 370 ( 5 ) 3171 - 3195 2017年11月
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A note on the existence of essential tribranched surfaces 査読
Stefan Friedl, Takahiro Kitayama, Matthias Nagel
Topology and its Applications 225 75 - 82 2017年7月
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Normalization of twisted Alexander invariants 査読
Takahiro Kitayama
International Journal of Mathematics 26 ( 10 ) 1550077 - 1550077 2015年9月
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Twisted Alexander Polynomials and Incompressible Surfaces Given by Ideal Points 招待 査読
Takahiro Kitayama
Journal of Mathematical Sciences, the University of Tokyo 22 ( 3 ) 877 - 891 2015年
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Torsion functions on moduli spaces in view of the cluster algebra 査読
Takahiro Kitayama, Yuji Terashima
Geometriae Dedicata 175 ( 1 ) 125 - 143 2014年11月
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Twisted Alexander Polynomials and Ideal Points Giving Seifert Surfaces 招待 査読
Takahiro Kitayama
Acta Mathematica Vietnamica 39 ( 4 ) 567 - 574 2014年10月
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The virtual fibering theorem for 3-manifolds 査読
Stefan Friedl, Takahiro Kitayama
L’Enseignement Mathématique 60 ( 1 ) 79 - 107 2014年9月
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TWISTED ALEXANDER POLYNOMIALS ON CURVES IN CHARACTER VARIETIES OF KNOT GROUPS 査読
TAEHEE KIM, TAKAHIRO KITAYAMA, TAKAYUKI MORIFUJI
International Journal of Mathematics 24 ( 03 ) 1350022 - 1350022 2013年3月
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On PGL3-torsions 招待
Takahiro Kitayama, Yuji Terashima
RIMS Kokyuroku 1866 39 - 44 2013年
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Torsion volume forms on character varieties 招待
Takahiro Kitayama
RIMS Kokyuroku 1836 75 - 80 2013年
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Homology cylinders of higher-order 査読
Takahiro Kitayama
Algebraic & Geometric Topology 12 ( 3 ) 1585 - 1605 2012年7月
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Poincaré duality and degrees of twisted Alexander polynomials 査読
Taehee Kim, Stefan Friedl, Takahiro Kitayama
Indiana University Mathematics Journal 61 ( 1 ) 147 - 192 2012年
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On a reduction of non-commutative Reidemeister torsion for homology cylinders 招待
Takahiro Kitayama
RIMS Kokyuroku 1777 31 - 36 2012年
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On metabelian Reidemeister torsion 招待
Takahiro Kitayama
RIMS Kokyuroku 1747 87 - 92 2011年
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Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory 査読
Takahiro Kitayama
Proceedings of the American Mathematical Society 138 ( 09 ) 3345 - 3345 2010年9月
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Symmetry of Reidemeister torsion on SU2-representation spaces of knots 査読
Takahiro Kitayama
Topology and its Applications 156 ( 17 ) 2772 - 2781 2009年11月
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Reidemeister torsion for linear representations and Seifert surgery on knots 査読
Takahiro Kitayama
Topology and its Applications 156 ( 15 ) 2496 - 2503 2009年9月
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Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory 招待
Takahiro Kitayama
the proceedings of the conference "Intelligence of Low Dimensional Topology 2009" 15 - 22 2009年
書籍等出版物
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数学の現在e+π
斎藤 毅, 河東 泰之, 小林 俊行(共編), 松井 千尋, 石毛 和弘, 加藤 晃史, 山崎 雅人, 今野 北斗, 北山 貴裕, 木田 良才, 宮本 安人, 増田 弘毅, 岩木 耕平, 三竹 大寿(共著)（ 担当： 共著 範囲: 第6講 位相幾何――3次元多様体の基本群をめぐって）
東京大学出版会 2025年6月 （ ISBN:9784130639088 ）
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数理情報・工学系のための数学教程 基礎編2 線形代数
河野 俊丈, 吉田 朋広, 松尾 宇泰(共編), 朝倉 政典, 落合 理, 北山 貴裕, 田口 雄一郎(共著)（ 担当： 共著）
培風館 2025年4月 （ ISBN:9784563006235 ）
MISC
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3次元多様体（特集 「多様体」の探求）
北山貴裕
数理科学2025年4月号 742 25 - 32 2025年3月
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指標多様体の幾何学と3次元多様体のトポロジー
北山貴裕
数学 75 ( 1 ) 31 - 56 2023年1月
講演・口頭発表等
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Blanchfield form and 4-ball genus
北山貴裕
トポロジーと数理物理の新展開 2026年3月
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Blanchfield pairings and Gordian distance 招待
Takahiro Kitayama
Geometry and Topology Seminar, the University of Glasgow 2025年3月
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Blanchfield pairings and Gordian distance 招待
Takahiro Kitayama
Knot theory, LMO invariants and related topics 2024年3月
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Thurston norm, twisted Euler characteristics and virtual fibering 招待
Takahiro Kitayama
The 19th Kagoshima Algebra-Analysis-Geometry Seminar 2024年2月
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Torsion polynomial functions and essential surfaces 招待
Takahiro Kitayama
Séminaire GT3, Université de Strasbourg 2022年10月
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トポロジーへの誘い――空間のかたちをやわらかく考える
北山貴裕
高校生と大学生のための金曜特別講座（東京大学） 2022年5月
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Ribbon concordance and twisted Alexander polynomials 招待
北山貴裕
トポロジーとコンピュータ 2021 2021年9月
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リボンコンコーダンスとねじれAlexander多項式 招待
北山貴裕
N-KOOKセミナー 2021年5月
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Representations of fundamaetal groups and 3-manifold topology 招待
北山貴裕
理化学研究所数理創造プログラム数学セミナー 2020年11月
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Twisted Alexander polynomials and L2-Euler characteristics 招待
Takahiro Kitayama
Global Analysis Seminar, University of Regensburg 2019年12月
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Character varieties and essential surfaces 招待
Takahiro Kitayama
Low-Dimensional Topology Workshop 2019 2019年10月
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Character varieties and essential surfaces 招待
Takahiro Kitayama
The 14th East Asian Conference on Geometric Topology 2019年1月
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Twisted Alexander polynomials and L2-Euler characteristics 招待
Takahiro Kitayama
New development of low-dimensional topology 2018年12月
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線形表現のなす空間と3次元多様体内の曲面について 招待
北山貴裕
空間の代数的・幾何的モデルとその周辺 2018年9月
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トーション多項式関数と3次元多様体の分解について 招待
北山貴裕
東京電機大学数学講演会 2018年7月
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Torsion polynomial functions and essential surfaces 招待
Takahiro Kitayama
Low Dimensional Topology and Number Theory X 2018年3月
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Representation varieties and essential surfaces 招待
Takahiro Kitayama
New Development in Teichmüller Space Theory 2017年11月
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トポロジーへの誘い――ひもの結びから3次元のかたちへ
北山貴裕
東京大学オープンキャンパス2017 2017年8月
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線形表現の変形と3次元多様体の分解 招待
北山貴裕
東京工業大学大岡山談話会 2017年7月
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Representation varieties detect splittings of 3-manifolds 招待
Takahiro Kitayama
Invariants in Low-dimensional Topology 2017年5月
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Representation varieties detect splittings of 3-manifolds 招待
Takahiro Kitayama
The second Australia-Japan Geometry, Analysis and their Applications 2017年1月
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トポロジー：空間のかたちをやわらかく考える
北山貴裕
東京大学高校生のための冬休み講座2016 2016年12月
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Representation varieties detect splittings of 3-manifolds 招待
Takahiro Kitayama
Rigidity School, Nagoya 2016 2016年7月
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線形表現のモジュライ空間と3次元多様体の分解について 招待
北山貴裕
東京大学大学院数理科学研究科談話会 2016年5月
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Torsion invariants and representation varieties for non-positively curved cube complexes 招待
北山貴裕
東大数理トポロジー火曜セミナー 2016年4月
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Representation varieties detect essential surfaces 招待
Takahiro Kitayama
Branched Coverings, Degenerations, and Related Topics 2016 2016年3月
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Representation varieties detect essential surfaces 招待
Takahiro Kitayama
Geometry of Moduli Space of Low Dimensional Manifolds 2015年12月
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Representation varieties detect essential surfaces I, II 招待
Takahiro Kitayama
Topology and Geometry of Low-dimensional Manifolds 2015年10月
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Representation varieties detect essential surfaces 招待
Takahiro Kitayama
Braids, Configuration Spaces and Quantum Topology 2015年9月
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Representation varieties detect essential surfaces 招待
北山貴裕
東大数理トポロジー火曜セミナー 2015年7月
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線形表現のモジュライ空間とトーション関数から見る3次元多様体の分解について 招待
北山貴裕
東京工業大学大岡山談話会 2014年6月
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Cluster algebras and torsion functions on moduli spaces 招待
Takahiro Kitayama
Infinite Analysis 14 2014年3月
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Cluster algebras and torsion functions on moduli spaces 招待
北山貴裕
東工大トポロジーセミナー 2014年1月
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Character varieties of higher dimensional representations and splittings of 3-manifolds 招待
Takahiro Kitayama
Global Analysis Seminar, University of Regensburg 2013年11月
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On an analogue of Culler-Shalen theory for higher dimensional representations 招待
北山貴裕
代数多様体のトポロジーとその周辺 2013年8月
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On an analogue of Culler-Shalen theory for higher dimensional representations 招待
北山貴裕
東北大学幾何セミナー 2013年6月
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On an analogue of Culler-Shalen theory for higher dimensional representations 招待
北山貴裕
東大数理トポロジー火曜セミナー 2013年6月
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Twisted Alexander polynomials and incompressible surfaces given by Culler-Shalen theory 招待
Takahiro Kitayama
Quantum Topology and Hyperbolic Geometry Conference 2013年5月
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Torsion functions on character varieties and an extension of Culler-Shalen theory 招待
北山貴裕
日本数学会2013年度年会トポロジー分科会特別講演 2013年3月
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On an analogue of Culler-Shalen theory for higher dimensional representations 招待
Takahiro Kitayama
Low Dimensional Topology and Number Theory V 2013年3月
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The virtual fibering theorem and sutured manifold hierarchies 招待
北山貴裕
岐阜大学トポロジーセミナー 2013年2月
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The virtual fibering theorem and sutured manifold hierarchies 招待
北山貴裕
東大数理トポロジー火曜セミナー 2012年11月
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On an analogue of Culler-Shalen theory for higher dimensional representations 招待
Takahiro Kitayama
Aspects of representation theory in low-dimensional topology and 3-dimensional invariants 2012年11月
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On an analogue of Culler-Shalen theory for higher dimensional representations 招待
北山貴裕
筑波大学トポロジーセミナー 2012年10月
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Twisted Alexander polynomialas of handlebody-knots 招待
北山貴裕
ハンドル体結び目とその周辺Ｖ 2012年10月
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On an analogue of Culler-Shalen theory for higher dimensional representations 招待
北山貴裕
東工大トポロジーセミナー 2012年6月
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Applications of non-commutative Reidemeister torsion 招待
北山貴裕
京都大学GCOE Tea Time 2012年1月
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Non-commutative Reidemeister torsion, higher-order Alexander polynomials and circle valued Morse theory 招待
Takahiro Kitayama
Circle valued Morse theory and Alexander invariants 2011年11月
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Homology cylinders of higher-order 招待
北山貴裕
リーマン面に関連する位相幾何学2011 2011年9月
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On the leading coefficient of the metabelian Alexander polynomial 招待
Takahiro Kitayama
Knots and Links: From Form to Function 2011年7月
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Non-commutative Reidemeister torsion for homology cylinders 招待
Takahiro Kitayama
Topology Seminar, University of Nantes 2011年6月
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Non-commutative Reidemeister torsion for homology cylinders 招待
Takahiro KItayama
Geometric and Analytic Approaches to Representations of a Group and Representation Spaces 2011年6月
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Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory 招待
北山貴裕
新KOOKセミナー 2011年5月
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Reidemeister torsion and homology cylinders 招待
北山貴裕
Spring Workshop 2011 on Low-Dimensional Topology and its Ramifications 2011年3月
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Non-commutative Reidemeister torsion for homology cylinders 招待
Takahiro Kitayama
Low Dimensional Topology and Number Theory III 2011年3月
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Homology cylinders of higher-order 招待
北山貴裕
東京農工大学トポロジーセミナー 2011年1月
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Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory 招待
Takahiro Kitayama
Low Dimensional Topology, University of Cologne 2010年11月
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On the leading coefficients of higher-order Alexander polynomials 招待
Takahiro Kitayama
Twisted Topological Invariants and Topology of Low-Dimensional Manifolds 2010年9月
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Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory 招待
北山貴裕
京都大学微分トポロジーセミナー 2010年7月
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Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory 招待
北山貴裕
東大数理トポロジー火曜セミナー 2010年6月
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Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory 招待
Takahiro Kitayama
Knots, Contact Geometry and Floer homology, Tambara Workshop 2010年5月
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Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory 招待
Takahiro Kitayama
Low Dimensional Topology and Number Theory II 2010年3月
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非可換Reidemeister torsionとMorse-Novikov理論
北山貴裕
日本数学会2010年度年会 2010年3月
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ねじれAlexander多項式の基礎と応用 招待
北山貴裕
関西低次元トポロジー若手セミナー 2010年2月
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On metabelian Reidemeister torsion
Takahiro Kitayama
The Sixth East Asian School of Knots and Related Topics 2010年1月
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On metabelian Reidemeister torsion 招待
北山貴裕
東京農工大学トポロジーセミナー 2009年12月
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Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory 招待
Takahiro Kitayama
Intelligence of Low Dimensional Topology 2009 2009年11月
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Torsion volume forms and twisted Alexander functions on character varieties of knots 招待
北山貴裕
東工大トポロジーセ 2009年7月
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Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory 招待
北山貴裕
東京農工大学トポロジーセミナー 2009年7月
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Torsion volume forms and twisted Alexander functions on character varieties of knots 招待
北山貴裕
東大数理トポロジー火曜 2009年6月
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Reidemeister torsion for linear representations and Dehn surgery on knots 招待
北山貴裕
計算機とトポロジー分野を中心とした勉強会 2009年4月
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Torsion volume forms and twisted Alexander functions on character varieties of knots 招待
Takahiro Kitayama
Low Dimensional Topology and Number Theory 2009年3月
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Reidemeister torsion for linear representations and Seifert surgery on knots
Takahiro Kitayama
The Fifth East Asian School of Knots and Related Topics 2009年1月
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Reidemeister torsion for linear representations and Seifert surgery on knots 招待
北山貴裕
東京農工大学トポロジーセミナー 2008年12月
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Reidemeister torsion for linear representations and Seifert surgery on knots 招待
北山貴裕
東工大トポロジーセ 2008年11月
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Twisted Alexander invariant and its applications 招待
北山貴裕
Winter Workshop 2008 on Low-Dimensional Topology and its Ramifications 2008年2月
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結び目群のSU(2)-表現空間の対称性と正規化されたねじれAlexander不変量
北山貴裕
第5回城崎新人セミナー 2008年2月
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Isometries on SU(2)-representation spaces of knot groups and twisted Alexander functions
Takahiro Kitayama
The Forth East Asian School of Knots and Related Topics 2008年1月
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Symmetry of twisted Alexander invariants on SU(2)-representation spaces 招待
北山貴裕
東京農工大学トポロジーセミナー 2007年11月
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Refinement of twisted Alexander invariants and sign-determined Reidemeister torsion
Takahiro Kitayama
The Third East Asian School of Knots and Related Topic 2007年2月
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Refinement of twisted Alexander invariants and sign-determined Reidemeister torsions 招待
北山貴裕
東京農工大学トポロジーセミナー 2007年1月
受賞
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研究科長賞
2011年3月 東京大学大学院数理科学研究科
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研究科長賞
2008年3月 東京大学大学院数理科学研究科
共同研究・競争的資金等の研究課題
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指標多様体の幾何学と3次元多様体のトポロジー
研究課題/領域番号：24K06705 2024年4月 - 2027年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
北山 貴裕
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離散群の幾何学的量子表現と高次圏への拡張
研究課題/領域番号：23K20799 2021年4月 - 2026年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(B)
河野 俊丈, 北山 貴裕, 逆井 卓也, 鈴木 正明
担当区分：研究分担者
配分額：15340000円 （ 直接経費：11800000円 、 間接経費：3540000円 ）
高次圏におけるホロノミー関手に拡張する理論的な枠組みについて，特に2次ホロノミー関手の具体的な構成についての成果を挙げることができた．これにより，超平面アレンジメントの補集合の2次ホモトピー型の研究に応用することが可能になり，従来まで行われていたホモロジー接続などよりも広いクラスの接続の2次ホロノミー関手を扱うことができるようになった．共形場理論についての研究では，colored Temperley-Lieb-Jones圏についての進展があり，構成された組みひも群のユニタリ表現の物質科学，量子計算への応用について研究が進んだ．また，研究代表者は明治大学MIMSにおいて「トポロジーとその応用融合研究セミナー」を開催し，分野横断的な研究交流を促進することができた．共形場理論におけるモノドロミー表現が量子群対称性をもつことの枠組みを用いて，結び目，空間グラフ，3次元多様体などの位相不変量の構成を行い，物質科学，分子生命科学の分野の問題への応用を進める．構成した離散群のユニタリ表現の量子計算への応用について研究を遂行した．このようなトポロジーと数理物理の新しい手法はモーションプラニングなど工学の問題とも関係しており，センサーネットワーク，ロボティックスなど応用面の研究を遂行する．このような分野横断的な研究は研究代表者が明治大学先MIMSで実施しいる「トポロジーとその工学，生命科学への応用」についての融合研究プロジェクトと連携して遂行した．
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線形表現の高次元変形による本質的曲面の分布と複雑さの研究
研究課題/領域番号：18KK0380 2019年 - 2022年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 国際共同研究加速基金(国際共同研究強化(A))
北山 貴裕
担当区分：研究代表者
配分額：15600000円 （ 直接経費：12000000円 、 間接経費：3600000円 ）
基本群の線形表現の変形とそれに伴う位相不変量の振る舞いから、3次元多様体を本質的に分解するような部分曲面の分布と複雑さを究明することに取り組んだ。本研究では、ねじれAlexander多項式に関して、Thurstonノルムが一様に捉えられることを3次元多様体の基本群を含むある群のクラスに一般化し、結び目の間にリボンコンコーダンスが存在するための障害を与えた。Blanchfield形式に関して、結び目のGordian距離の下からの評価を与え、位相的整4次元種数を記述する公式に別証明を与えた。また、数論的トポロジーの見地から、結び目群の表現の普遍変形に付随する代数的p進L関数の類似物を導入した。
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Teichmuller理論の多様な進化
研究課題/領域番号：18KK0071 2018年10月 - 2025年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 国際共同研究加速基金(国際共同研究強化(B))
大鹿 健一, 北山 貴裕, 河澄 響矢, 山崎 玲, 宮地 秀樹, 久野 雄介, 山田 澄生
担当区分：研究分担者
配分額：17810000円 （ 直接経費：13700000円 、 間接経費：4110000円 ）
大鹿はTeichmuller空間の２つのFinsler距離，Thurstonの非対称距離と，earthquake距離についての研究をStrasbourgでのPapadopoulos, Yi Huang, Huiping Pan, Assaf Bar-Natanらとの共同研究を通じて行なった．Thurstonの非対称距離については，距離から誘導されるノルムが，Teichmuller空間の接空間の単位球にもたらす凸構造が距離の無限小剛性の原因となっていることから，その構造を幾何的に記述することを試みた．特に単位球を構成する面はharmonic stretch mapの概念を通じて，disjointなchain-recurrent laminationsの非負１次結合の全体として記述できることを示した．これは単位球の凸構造が計量を忘れた組み合わせ構造としては，Teichmuller空間の点によらず一定というこれまで予想されなかった結果を導く．
Earthquake距離については，昨年度証明した非完備性や無限小剛性に加えて，完備化がaugmented Teichmuller空間になること，完備化で得られる境界への距離の評価，十分長いearthquake pathが決して測地線にならないことなど新たな性質を証明することができた．
久野，河澄はゴールドマン・リー代数を用いたジョンソン準同型の研究を行ってきた．特にジョンソン準同型の新しい障害を幾何的に得ることを目指し，曲面上の曲線に対する高次のループ演算を見つけることに取り組んできたが，今年度は，久野が佐藤と共同でその候補と思われるループ演算の導入に成功した．久野がStrasbourgで，新しいループ演算の研究の現状を報告し，Papadopoulos， Enriquezらと議論を行った． -
高次元線形表現のモジュライ空間と3次元多様体の分解
研究課題/領域番号：18K13404 2018年4月 - 2025年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 若手研究
北山 貴裕
担当区分：研究代表者
配分額：4290000円 （ 直接経費：3300000円 、 間接経費：990000円 ）
高次元線形表現のモジュライ空間の幾何学の低次元トポロジーへの応用を基礎付け、当研究領域を育成することを目的として研究を行った。当該年度は、基本群の表現に付随する位相不変量の新しい応用として、特に、ねじれBlanchfield形式を用いてホモトピーリボンコンコーダンスと呼ばれる結び目の間の特別なコンコーダント関係を研究した。
Gilmerによって、結び目から結び目への滑らかなリボンコンコーダンスが存在するならば、最初の結び目のAlexander加群のある部分加群が存在して、その直交部分加群の当部分加群による商へのBlanchfield形式の制限が、もう一方の結び目のBlanchfield形式と等長になることが知られていた。Stefan Friedl氏、Lukas Lewark氏、Matthias Nagel氏、Mark Powell氏との共同研究において、この結果が滑らかなリボンコンコーダンスではなくホモトピーリボンコンコーダンスの存在へと仮定を弱めても成り立つことを示した。更に、これに基づいて、結び目に沿った二重分岐被覆空間のホモロジー群やLevine-Tristram符号関数に関する、ホモトピーリボンコンコーダンスが存在するための必要条件を与えた。
なお、2019年度から2022年度まで本研究課題を基課題とする研究課題「線形表現の高次元変形による本質的曲面の分布と複雑さの研究」（18KK0380）を実施した。新型コロナウイルス感染症拡大の影響により、特に出張を伴う研究活動が大きく制限されたが、ドイツ・レーゲンスブルク大学のStefan Friedl氏を主な共同研究者として、国際共同研究を進展させた。 -
線形表現のモジュライ空間と非可換トーション不変量
研究課題/領域番号：26800032 2014年4月 - 2018年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 若手研究(B)
北山 貴裕
担当区分：研究代表者
配分額：3770000円 （ 直接経費：2900000円 、 間接経費：870000円 ）
当研究課題は基本群の線形表現のなす空間と3次元多様体の非可換トーション不変量の研究の相互発展を図った．その結果，3次元多様体を本質的に分解するような全ての曲面は，高次元表現のなす空間の無限遠点から構成されることが明らかになった．また，トーション不変量を線形表現のなす空間の上の関数と見做すことで，無限遠点から構成される曲面のホモロジー類が当関数のその点におけるある正則性によって制限されることが見出された．更に，数論的位相幾何学の見地から，結び目に対して有限体上の2次元表現の変形が定める新しいトーション不変量が導入された．
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非可換同変不変量による3次元トポロジーの研究
研究課題/領域番号：11J01564 2011年 - 2012年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 特別研究員奨励費
北山 貴裕
担当区分：研究代表者
配分額：1600000円 （ 直接経費：1600000円 ）
本年度は、特に非可換な被覆変換群を持つ被覆空間から3次元多様体の位相構造を捉えることを目的として、基本群のn次元表現のモジュライ空間であるn次元指標代数多様体のideal pointと呼ばれる無限遠点から基本群の2次元的な分解を捉える研究、円周上のファイバー束であるような有限被覆空間の存在を縫い目付き多様体論の枠組みにおいて捉える研究を行った結果、以下のような成果が得られた。
1.Culler-Shalenにより、基本群の2次元指標代数多様体のideal pointに付随して、3次元多様体内に本質的曲面が構成されることが知られていた。この理論をより一般のn次元指標代数多様体の場合にまで拡張することに取り組んだ。まず、n次元指標代数多様体のideal pointに付随して、基本群がbuildingと呼ばれる特別な単体複体への非自明な作用が得られることを示した。また、そのような作用から3次元多様体内に性質の良い分岐曲面が構成され、基本群にgraph of groupsの拡張概念である2-complex of groupsの構造が誘導されることを発見した。
2.Agolにより、「非球面的3次元多様体がRFRSと呼ばれる性質を満たす基本群を持つならば、円周上のファイバー束であるような有限被覆空間を持つ」ことが示されていた。最近、Agol、Liu、Przytycki-Wiseらにより、RFRSな基本群を持つ3次元多様体の分類が完了している。Agolはnormal surface理論の枠組みによる組み合わせ的な手法を用いて証明を与えていたが、縫い目付き多様体論の枠組みによるより位相的な手法による別証明を与えた。これはAgol、Gabaiらによってより自然なアプローチの可能性として指摘されていたものである。 -
ライデマイスタートーション、モース理論による非可換不変量と3次元の幾何構造の研究
研究課題/領域番号：08J07685 2008年 - 2010年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 特別研究員奨励費
北山 貴裕
担当区分：研究代表者
配分額：1800000円 （ 直接経費：1800000円 ）
本年度は特に非可換な変換群を持つ被覆空間から3次元多様体の位相構造を捉えることを目的として、位相不変量であるReidemeister torsionが非可換な係数を持つ場合の同一曲面の間のhomology同境であるhomology cylinderへの応用、基本群の線形表現を与えられたときに定まるねじれAlexander多項式の次数に関する制限についての研究を行った結果,以下のように,homology cylinderの新しい研究手法が確立され、Alexander不変量の一つの基本性質が明らかになった。
1.非可換係数のReidemeister torsionによるhomology cylinderの成す代数構造の研究
まず、曲面からの包含写像が基本群の(m+1)階の可解商上に同型写像を導くようなhomology cylinderとして、コンパクト有向曲面の間のm次homology cylinderを導入し、正数mと第1Betti数が正である曲面に対して、それらの成すモノイドとそのhomology同境群が通常のhomology cylinderに対するものとは異なる曲面の写像類群の拡大であることを示した。更に、全てのmと第1Betti数が正である境界付き曲面に対して、曲面群の同様の可解商に自明に作用する既約なm次homology cylinderたちの成すモノイドが無限ランクのアーベル群を商として持つことを示した。
2.ねじれAlexander多項式の次数とThurston normの関係
線形表現に対する精密化されたReidemeister torsionの双対定理を示した。帰結として、境界が空かトーラスからなる向き付け可能なコンパクト既約3次元多様体に対して、双対と共役である線形表現と全ての境界成分への制限が非自明となるような第1cohomology群の原始的な元に付随するねじれAlexander多項式の次数が、線形表現の次元と第1cohomology類のThurston normの積と偶奇性が等しいことが得られた。