Organization
Undergraduate School School of Interdisciplinary Mathematical Sciences Professor
Title
Professor
External link
KITAYAMA TAKAHIRO
Degree
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Doctor of Philosophy (Ph.D.) in Mathematical Sciences ( 2011.3 The University of Tokyo )
-
Master of Science in Mathematical Sciences ( 2008.3 The University of Tokyo )
Research Interests
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torsion invariant
-
character variety
-
Morse-Novikov theory
-
3-manifolds
-
discrete group
Research Areas
-
Natural sciences / Geometry / 位相幾何学
Education
-
The University of Tokyo Graduate School of Mathematical Sciences Doctor of Philosophy (Ph.D.) in Mathematical Sciences
2008.4 - 2011.3
-
The University of Tokyo Graduate School of Mathematical Sciences Master of Science in Mathematical Sciences
2006.4 - 2008.3
-
The University of Tokyo Faculty of Science Department of Mathematics
2004.4 - 2006.6
-
The University of Tokyo College of Arts and Sciences Natural Sciences I
2002.4 - 2004.3
-
Toyama Prefectural Toyama High School
1999.4 - 2002.3
Research History
-
Meiji University School of Interdisciplinary Mathematical Sciences Professor
2026.4
-
The University of Tokyo Graduate School of Mathematical Sciences Associate Professor
2016.4 - 2026.3
-
Tokyo Institute of Technology Graduate School of Science and Engineering Assistant Professor
2013.10 - 2016.3
-
The University of Tokyo Graduate School of Mathematical Sciences Assistant Professor
2012.12 - 2013.9
-
Japan Society for the Promotion of Science Research Fellowships for Young Scientists (PD) (Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University)
2011.4 - 2012.12
-
Japan Society for the Promotion of Science Research Fellowships for Young Scientists (DC1) (Graduate School of Mathematical Sciences, the University of Tokyo)
2008.4 - 2011.3
Professional Memberships
-
日本数学会
Committee Memberships
-
トポロジー連絡会議, 構成員
2026.4
-
日本数学会 全国区代議員（評議員）
2023.4 - 2024.3
-
日本数学会 地方区代議員（代議員）
2018.4 - 2019.3
Papers
-
Blanchfield pairings and Gordian distance Reviewed
Stefan Friedl, Takahiro Kitayama, Masaaki Suzuki
International Journal of Mathematics 35 ( 13 ) 2024.7
-
On Adjoint Homological Selmer Modules for <b>SL</b>2-Representations of Knot Groups Reviewed
Takahiro Kitayama, Masanori Morishita, Ryoto Tange, Yuji Terashima
International Mathematics Research Notices 2023 ( 23 ) 19801 - 19826 2022.9
-
Homotopy ribbon concordance, Blanchfield pairings, and twisted Alexander polynomials Reviewed
Stefan Friedl, Takahiro Kitayama, Lukas Lewark, Matthias Nagel, Mark Powell
Canadian Journal of Mathematics 74 ( 4 ) 1137 - 1176 2022.8
-
A Survey of the Thurston Norm Invited Reviewed
Takahiro Kitayama
In the Tradition of Thurston II 149 - 199 2022.3
-
Character varieties of higher dimensional representations and splittings of 3-manifolds Reviewed
Takashi Hara, Takahiro Kitayama
Geometriae Dedicata 213 ( 1 ) 433 - 466 2021.1
-
Representation varieties detect essential surfaces Reviewed
Stefan Friedl, Takahiro Kitayama, Matthias Nagel
Mathematical Research Letters 25 ( 3 ) 803 - 817 2018.8
-
On certain 𝐿-functions for deformations of knot group representations Reviewed
Takahiro Kitayama, Masanori Morishita, Ryoto Tange, Yuji Terashima
Transactions of the American Mathematical Society 370 ( 5 ) 3171 - 3195 2017.11
-
A note on the existence of essential tribranched surfaces Reviewed
Stefan Friedl, Takahiro Kitayama, Matthias Nagel
Topology and its Applications 225 75 - 82 2017.7
-
Normalization of twisted Alexander invariants Reviewed
Takahiro Kitayama
International Journal of Mathematics 26 ( 10 ) 1550077 - 1550077 2015.9
-
Twisted Alexander Polynomials and Incompressible Surfaces Given by Ideal Points Invited Reviewed
Takahiro Kitayama
Journal of Mathematical Sciences, the University of Tokyo 22 ( 3 ) 877 - 891 2015
-
Torsion functions on moduli spaces in view of the cluster algebra Reviewed
Takahiro Kitayama, Yuji Terashima
Geometriae Dedicata 175 ( 1 ) 125 - 143 2014.11
-
Twisted Alexander Polynomials and Ideal Points Giving Seifert Surfaces Invited Reviewed
Takahiro Kitayama
Acta Mathematica Vietnamica 39 ( 4 ) 567 - 574 2014.10
-
The virtual fibering theorem for 3-manifolds Reviewed
Stefan Friedl, Takahiro Kitayama
L’Enseignement Mathématique 60 ( 1 ) 79 - 107 2014.9
-
TWISTED ALEXANDER POLYNOMIALS ON CURVES IN CHARACTER VARIETIES OF KNOT GROUPS Reviewed
TAEHEE KIM, TAKAHIRO KITAYAMA, TAKAYUKI MORIFUJI
International Journal of Mathematics 24 ( 03 ) 1350022 - 1350022 2013.3
-
On PGL3-torsions Invited
Takahiro Kitayama, Yuji Terashima
RIMS Kokyuroku 1866 39 - 44 2013
-
Torsion volume forms on character varieties Invited
Takahiro Kitayama
RIMS Kokyuroku 1836 75 - 80 2013
-
Homology cylinders of higher-order Reviewed
Takahiro Kitayama
Algebraic & Geometric Topology 12 ( 3 ) 1585 - 1605 2012.7
-
Poincaré duality and degrees of twisted Alexander polynomials Reviewed
Taehee Kim, Stefan Friedl, Takahiro Kitayama
Indiana University Mathematics Journal 61 ( 1 ) 147 - 192 2012
-
On a reduction of non-commutative Reidemeister torsion for homology cylinders Invited
Takahiro Kitayama
RIMS Kokyuroku 1777 31 - 36 2012
-
On metabelian Reidemeister torsion Invited
Takahiro Kitayama
RIMS Kokyuroku 1747 87 - 92 2011
-
Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory Reviewed
Takahiro Kitayama
Proceedings of the American Mathematical Society 138 ( 09 ) 3345 - 3345 2010.9
-
Symmetry of Reidemeister torsion on SU2-representation spaces of knots Reviewed
Takahiro Kitayama
Topology and its Applications 156 ( 17 ) 2772 - 2781 2009.11
-
Reidemeister torsion for linear representations and Seifert surgery on knots Reviewed
Takahiro Kitayama
Topology and its Applications 156 ( 15 ) 2496 - 2503 2009.9
-
Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory
Takahiro Kitayama
the proceedings of the conference "Intelligence of Low Dimensional Topology 2009" 15 - 22 2009
Books
-
数学の現在e+π
斎藤 毅, 河東 泰之, 小林 俊行(共編), 松井 千尋, 石毛 和弘, 加藤 晃史, 山崎 雅人, 今野 北斗, 北山 貴裕, 木田 良才, 宮本 安人, 増田 弘毅, 岩木 耕平, 三竹 大寿(共著)（ Role： Joint author第6講 位相幾何――3次元多様体の基本群をめぐって）
東京大学出版会 2025.6 （ ISBN:9784130639088 ）
-
数理情報・工学系のための数学教程 基礎編2 線形代数
河野 俊丈, 吉田 朋広, 松尾 宇泰(共編), 朝倉 政典, 落合 理, 北山 貴裕, 田口 雄一郎(共著)（ Role： Joint author）
培風館 2025.4 （ ISBN:9784563006235 ）
MISC
-
3次元多様体（特集 「多様体」の探求）
北山貴裕
数理科学2025年4月号 742 25 - 32 2025.3
-
指標多様体の幾何学と3次元多様体のトポロジー
北山貴裕
数学 75 ( 1 ) 31 - 56 2023.1
Presentations
-
Blanchfield form and 4-ball genus
北山貴裕
トポロジーと数理物理の新展開 2026.3
-
Blanchfield pairings and Gordian distance Invited
Takahiro Kitayama
Geometry and Topology Seminar, the University of Glasgow 2025.3
-
Blanchfield pairings and Gordian distance Invited
Takahiro Kitayama
Knot theory, LMO invariants and related topics 2024.3
-
Thurston norm, twisted Euler characteristics and virtual fibering Invited
Takahiro Kitayama
The 19th Kagoshima Algebra-Analysis-Geometry Seminar 2024.2
-
Torsion polynomial functions and essential surfaces Invited
Takahiro Kitayama
Séminaire GT3, Université de Strasbourg 2022.10
-
トポロジーへの誘い――空間のかたちをやわらかく考える
北山貴裕
高校生と大学生のための金曜特別講座（東京大学） 2022.5
-
Ribbon concordance and twisted Alexander polynomials Invited
北山貴裕
トポロジーとコンピュータ 2021 2021.9
-
リボンコンコーダンスとねじれAlexander多項式 Invited
北山貴裕
N-KOOKセミナー 2021.5
-
Representations of fundamaetal groups and 3-manifold topology Invited
北山貴裕
理化学研究所数理創造プログラム数学セミナー 2020.11
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Twisted Alexander polynomials and L2-Euler characteristics Invited
Takahiro Kitayama
Global Analysis Seminar, University of Regensburg 2019.12
-
Character varieties and essential surfaces Invited
Takahiro Kitayama
Low-Dimensional Topology Workshop 2019 2019.10
-
Character varieties and essential surfaces Invited
Takahiro Kitayama
The 14th East Asian Conference on Geometric Topology 2019.1
-
Twisted Alexander polynomials and L2-Euler characteristics Invited
Takahiro Kitayama
New development of low-dimensional topology 2018.12
-
線形表現のなす空間と3次元多様体内の曲面について Invited
北山貴裕
空間の代数的・幾何的モデルとその周辺 2018.9
-
トーション多項式関数と3次元多様体の分解について Invited
北山貴裕
東京電機大学数学講演会 2018.7
-
Torsion polynomial functions and essential surfaces Invited
Takahiro Kitayama
Low Dimensional Topology and Number Theory X 2018.3
-
Representation varieties and essential surfaces Invited
Takahiro Kitayama
New Development in Teichmüller Space Theory 2017.11
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トポロジーへの誘い――ひもの結びから3次元のかたちへ
北山貴裕
東京大学オープンキャンパス2017 2017.8
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線形表現の変形と3次元多様体の分解 Invited
北山貴裕
東京工業大学大岡山談話会 2017.7
-
Representation varieties detect splittings of 3-manifolds Invited
Takahiro Kitayama
Invariants in Low-dimensional Topology 2017.5
-
Representation varieties detect splittings of 3-manifolds Invited
Takahiro Kitayama
The second Australia-Japan Geometry, Analysis and their Applications 2017.1
-
トポロジー：空間のかたちをやわらかく考える
北山貴裕
東京大学高校生のための冬休み講座2016 2016.12
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Representation varieties detect splittings of 3-manifolds Invited
Takahiro Kitayama
Rigidity School, Nagoya 2016 2016.7
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線形表現のモジュライ空間と3次元多様体の分解について Invited
北山貴裕
東京大学大学院数理科学研究科談話会 2016.5
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Torsion invariants and representation varieties for non-positively curved cube complexes Invited
北山貴裕
東大数理トポロジー火曜セミナー 2016.4
-
Representation varieties detect essential surfaces Invited
Takahiro Kitayama
Branched Coverings, Degenerations, and Related Topics 2016 2016.3
-
Representation varieties detect essential surfaces Invited
Takahiro Kitayama
Geometry of Moduli Space of Low Dimensional Manifolds 2015.12
-
Representation varieties detect essential surfaces I, II Invited
Takahiro Kitayama
Topology and Geometry of Low-dimensional Manifolds 2015.10
-
Representation varieties detect essential surfaces Invited
Takahiro Kitayama
Braids, Configuration Spaces and Quantum Topology 2015.9
-
Representation varieties detect essential surfaces Invited
北山貴裕
東大数理トポロジー火曜セミナー 2015.7
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線形表現のモジュライ空間とトーション関数から見る3次元多様体の分解について Invited
北山貴裕
東京工業大学大岡山談話会 2014.6
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Cluster algebras and torsion functions on moduli spaces Invited
Takahiro Kitayama
Infinite Analysis 14 2014.3
-
Cluster algebras and torsion functions on moduli spaces Invited
北山貴裕
東工大トポロジーセミナー 2014.1
-
Character varieties of higher dimensional representations and splittings of 3-manifolds Invited
Takahiro Kitayama
Global Analysis Seminar, University of Regensburg 2013.11
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On an analogue of Culler-Shalen theory for higher dimensional representations Invited
北山貴裕
代数多様体のトポロジーとその周辺 2013.8
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On an analogue of Culler-Shalen theory for higher dimensional representations Invited
北山貴裕
東北大学幾何セミナー 2013.6
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On an analogue of Culler-Shalen theory for higher dimensional representations Invited
北山貴裕
東大数理トポロジー火曜セミナー 2013.6
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Twisted Alexander polynomials and incompressible surfaces given by Culler-Shalen theory Invited
Takahiro Kitayama
Quantum Topology and Hyperbolic Geometry Conference 2013.5
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Torsion functions on character varieties and an extension of Culler-Shalen theory Invited
北山貴裕
日本数学会2013年度年会トポロジー分科会特別講演 2013.3
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On an analogue of Culler-Shalen theory for higher dimensional representations Invited
Takahiro Kitayama
Low Dimensional Topology and Number Theory V 2013.3
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The virtual fibering theorem and sutured manifold hierarchies Invited
北山貴裕
岐阜大学トポロジーセミナー 2013.2
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The virtual fibering theorem and sutured manifold hierarchies Invited
北山貴裕
東大数理トポロジー火曜セミナー 2012.11
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On an analogue of Culler-Shalen theory for higher dimensional representations Invited
Takahiro Kitayama
Aspects of representation theory in low-dimensional topology and 3-dimensional invariants 2012.11
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On an analogue of Culler-Shalen theory for higher dimensional representations Invited
北山貴裕
筑波大学トポロジーセミナー 2012.10
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Twisted Alexander polynomialas of handlebody-knots Invited
北山貴裕
ハンドル体結び目とその周辺Ｖ 2012.10
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On an analogue of Culler-Shalen theory for higher dimensional representations Invited
北山貴裕
東工大トポロジーセミナー 2012.6
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Applications of non-commutative Reidemeister torsion Invited
北山貴裕
京都大学GCOE Tea Time 2012.1
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Non-commutative Reidemeister torsion, higher-order Alexander polynomials and circle valued Morse theory Invited
Takahiro Kitayama
Circle valued Morse theory and Alexander invariants 2011.11
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Homology cylinders of higher-order Invited
北山貴裕
リーマン面に関連する位相幾何学2011 2011.9
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On the leading coefficient of the metabelian Alexander polynomial Invited
Takahiro Kitayama
Knots and Links: From Form to Function 2011.7
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Non-commutative Reidemeister torsion for homology cylinders Invited
Takahiro Kitayama
Topology Seminar, University of Nantes 2011.6
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Non-commutative Reidemeister torsion for homology cylinders Invited
Takahiro KItayama
Geometric and Analytic Approaches to Representations of a Group and Representation Spaces 2011.6
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Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory Invited
北山貴裕
新KOOKセミナー 2011.5
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Reidemeister torsion and homology cylinders Invited
北山貴裕
Spring Workshop 2011 on Low-Dimensional Topology and its Ramifications 2011.3
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Non-commutative Reidemeister torsion for homology cylinders Invited
Takahiro Kitayama
Low Dimensional Topology and Number Theory III 2011.3
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Homology cylinders of higher-order Invited
北山貴裕
東京農工大学トポロジーセミナー 2011.1
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Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory Invited
Takahiro Kitayama
Low Dimensional Topology, University of Cologne 2010.11
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On the leading coefficients of higher-order Alexander polynomials Invited
Takahiro Kitayama
Twisted Topological Invariants and Topology of Low-Dimensional Manifolds 2010.9
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Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory Invited
北山貴裕
京都大学微分トポロジーセミナー 2010.7
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Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory Invited
北山貴裕
東大数理トポロジー火曜セミナー 2010.6
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Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory Invited
Takahiro Kitayama
Knots, Contact Geometry and Floer homology, Tambara Workshop 2010.5
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Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory Invited
Takahiro Kitayama
Low Dimensional Topology and Number Theory II 2010.3
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非可換Reidemeister torsionとMorse-Novikov理論
北山貴裕
日本数学会2010年度年会 2010.3
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ねじれAlexander多項式の基礎と応用 Invited
北山貴裕
関西低次元トポロジー若手セミナー 2010.2
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On metabelian Reidemeister torsion
Takahiro Kitayama
The Sixth East Asian School of Knots and Related Topics 2010.1
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On metabelian Reidemeister torsion Invited
北山貴裕
東京農工大学トポロジーセミナー 2009.12
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Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory Invited
Takahiro Kitayama
Intelligence of Low Dimensional Topology 2009 2009.11
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Torsion volume forms and twisted Alexander functions on character varieties of knots Invited
北山貴裕
東工大トポロジーセ 2009.7
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Non-commutative Reidemeister torsion and Morse-Novikov theory Invited
北山貴裕
東京農工大学トポロジーセミナー 2009.7
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Torsion volume forms and twisted Alexander functions on character varieties of knots Invited
北山貴裕
東大数理トポロジー火曜 2009.6
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Reidemeister torsion for linear representations and Dehn surgery on knots Invited
北山貴裕
計算機とトポロジー分野を中心とした勉強会 2009.4
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Torsion volume forms and twisted Alexander functions on character varieties of knots Invited
Takahiro Kitayama
Low Dimensional Topology and Number Theory 2009.3
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Reidemeister torsion for linear representations and Seifert surgery on knots
Takahiro Kitayama
The Fifth East Asian School of Knots and Related Topics 2009.1
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Reidemeister torsion for linear representations and Seifert surgery on knots Invited
北山貴裕
東京農工大学トポロジーセミナー 2008.12
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Reidemeister torsion for linear representations and Seifert surgery on knots Invited
北山貴裕
東工大トポロジーセ 2008.11
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Twisted Alexander invariant and its applications Invited
北山貴裕
Winter Workshop 2008 on Low-Dimensional Topology and its Ramifications 2008.2
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結び目群のSU(2)-表現空間の対称性と正規化されたねじれAlexander不変量
北山貴裕
第5回城崎新人セミナー 2008.2
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Isometries on SU(2)-representation spaces of knot groups and twisted Alexander functions
Takahiro Kitayama
The Forth East Asian School of Knots and Related Topics 2008.1
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Symmetry of twisted Alexander invariants on SU(2)-representation spaces Invited
北山貴裕
東京農工大学トポロジーセミナー 2007.11
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Refinement of twisted Alexander invariants and sign-determined Reidemeister torsion
Takahiro Kitayama
The Third East Asian School of Knots and Related Topic 2007.2
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Refinement of twisted Alexander invariants and sign-determined Reidemeister torsions Invited
北山貴裕
東京農工大学トポロジーセミナー 2007.1
Awards
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研究科長賞
2011.3 東京大学大学院数理科学研究科
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研究科長賞
2008.3 東京大学大学院数理科学研究科
Research Projects
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指標多様体の幾何学と3次元多様体のトポロジー
Grant number：24K06705 2024.4 - 2027.3
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
北山 貴裕
Authorship：Principal investigator
Grant amount：\4550000 （ Direct Cost: \3500000 、 Indirect Cost：\1050000 ）
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Geometric quantum representations of discrete groups and extensions to higher categories
Grant number：23K20799 2021.4 - 2026.3
Japan Society for the Promotion of Science Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
Authorship：Coinvestigator(s)
Grant amount：\15340000 （ Direct Cost: \11800000 、 Indirect Cost：\3540000 ）
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High dimensional deformations of linear representations and distribution and complexity of essential surfaces
Grant number：18KK0380 2019 - 2022
Japan Society for the Promotion of Science Grants-in-Aid for Scientific Research Fund for the Promotion of Joint International Research (Fostering Joint International Research (A))
KITAYAMA Takahiro
Authorship：Principal investigator
Grant amount：\15600000 （ Direct Cost: \12000000 、 Indirect Cost：\3600000 ）
We studied deformations of linear representations of the fundamental group and corresponding behaviors of topological invariants in order to describe distribution and complexity of subsurfaces essentially decomposing a 3-manifold. On twisted Alexander polynomials we showed for a certain class of groups including 3-manifold groups a generalization of the fact that the Thurston norm is uniformly detected, and discovered an obstruction for two knots to be ribbon concordant. On the Blanchfield form we gave a lower bound on the Gordian distance of knots, and presented another proof for a formula of the topological integral 4-ball genus. From the point of view of arithmetic topology we introduced analogues of algebraic p-adic L-functions associated with universal deformations of representations of a knot group.
-
Various evolutions of Teichmuller theory
Grant number：18KK0071 2018.10 - 2025.3
Japan Society for the Promotion of Science Grants-in-Aid for Scientific Research Fund for the Promotion of Joint International Research (Fostering Joint International Research (B))
Authorship：Coinvestigator(s)
Grant amount：\17810000 （ Direct Cost: \13700000 、 Indirect Cost：\4110000 ）
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高次元線形表現のモジュライ空間と3次元多様体の分解
Grant number：18K13404 2018.4 - 2025.3
日本学術振興会 科学研究費助成事業 若手研究
北山 貴裕
Authorship：Principal investigator
Grant amount：\4290000 （ Direct Cost: \3300000 、 Indirect Cost：\990000 ）
高次元線形表現のモジュライ空間の幾何学の低次元トポロジーへの応用を基礎付け、当研究領域を育成することを目的として研究を行った。当該年度は、基本群の表現に付随する位相不変量の新しい応用として、特に、ねじれBlanchfield形式を用いてホモトピーリボンコンコーダンスと呼ばれる結び目の間の特別なコンコーダント関係を研究した。
Gilmerによって、結び目から結び目への滑らかなリボンコンコーダンスが存在するならば、最初の結び目のAlexander加群のある部分加群が存在して、その直交部分加群の当部分加群による商へのBlanchfield形式の制限が、もう一方の結び目のBlanchfield形式と等長になることが知られていた。Stefan Friedl氏、Lukas Lewark氏、Matthias Nagel氏、Mark Powell氏との共同研究において、この結果が滑らかなリボンコンコーダンスではなくホモトピーリボンコンコーダンスの存在へと仮定を弱めても成り立つことを示した。更に、これに基づいて、結び目に沿った二重分岐被覆空間のホモロジー群やLevine-Tristram符号関数に関する、ホモトピーリボンコンコーダンスが存在するための必要条件を与えた。
なお、2019年度から2022年度まで本研究課題を基課題とする研究課題「線形表現の高次元変形による本質的曲面の分布と複雑さの研究」（18KK0380）を実施した。新型コロナウイルス感染症拡大の影響により、特に出張を伴う研究活動が大きく制限されたが、ドイツ・レーゲンスブルク大学のStefan Friedl氏を主な共同研究者として、国際共同研究を進展させた。 -
Moduli spaces of linear representations and non-abelian torsion invariants
Grant number：26800032 2014.4 - 2018.3
Japan Society for the Promotion of Science Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
Kitayama Takahiro
Authorship：Principal investigator
Grant amount：\3770000 （ Direct Cost: \2900000 、 Indirect Cost：\870000 ）
The project aimed at mutual development of the studies on spaces of linear representations of fundamental groups and non-abelian torsion invariants of 3-manifolds. As a result we showed that all surfaces essentially splitting 3-manifolds are constructed from points at infinity of spaces of representations of high dimensions. Regarding torsion invariants as functions on spaces of linear representations, we also discovered that the homology classes of surfaces constructed from points at infinity are restricted by certain regularity at the points of the functions. Moreover, from the point of view of arithmetic topology we introduced a new type of torsion invariants for knots defined from deformations of representations of dimension 2 over finite fields.
-
非可換同変不変量による3次元トポロジーの研究
Grant number：11J01564 2011 - 2012
日本学術振興会 科学研究費助成事業 特別研究員奨励費
北山 貴裕
Authorship：Principal investigator
Grant amount：\1600000 （ Direct Cost: \1600000 ）
本年度は、特に非可換な被覆変換群を持つ被覆空間から3次元多様体の位相構造を捉えることを目的として、基本群のn次元表現のモジュライ空間であるn次元指標代数多様体のideal pointと呼ばれる無限遠点から基本群の2次元的な分解を捉える研究、円周上のファイバー束であるような有限被覆空間の存在を縫い目付き多様体論の枠組みにおいて捉える研究を行った結果、以下のような成果が得られた。
1.Culler-Shalenにより、基本群の2次元指標代数多様体のideal pointに付随して、3次元多様体内に本質的曲面が構成されることが知られていた。この理論をより一般のn次元指標代数多様体の場合にまで拡張することに取り組んだ。まず、n次元指標代数多様体のideal pointに付随して、基本群がbuildingと呼ばれる特別な単体複体への非自明な作用が得られることを示した。また、そのような作用から3次元多様体内に性質の良い分岐曲面が構成され、基本群にgraph of groupsの拡張概念である2-complex of groupsの構造が誘導されることを発見した。
2.Agolにより、「非球面的3次元多様体がRFRSと呼ばれる性質を満たす基本群を持つならば、円周上のファイバー束であるような有限被覆空間を持つ」ことが示されていた。最近、Agol、Liu、Przytycki-Wiseらにより、RFRSな基本群を持つ3次元多様体の分類が完了している。Agolはnormal surface理論の枠組みによる組み合わせ的な手法を用いて証明を与えていたが、縫い目付き多様体論の枠組みによるより位相的な手法による別証明を与えた。これはAgol、Gabaiらによってより自然なアプローチの可能性として指摘されていたものである。 -
ライデマイスタートーション、モース理論による非可換不変量と3次元の幾何構造の研究
Grant number：08J07685 2008 - 2010
日本学術振興会 科学研究費助成事業 特別研究員奨励費
北山 貴裕
Authorship：Principal investigator
Grant amount：\1800000 （ Direct Cost: \1800000 ）
本年度は特に非可換な変換群を持つ被覆空間から3次元多様体の位相構造を捉えることを目的として、位相不変量であるReidemeister torsionが非可換な係数を持つ場合の同一曲面の間のhomology同境であるhomology cylinderへの応用、基本群の線形表現を与えられたときに定まるねじれAlexander多項式の次数に関する制限についての研究を行った結果,以下のように,homology cylinderの新しい研究手法が確立され、Alexander不変量の一つの基本性質が明らかになった。
1.非可換係数のReidemeister torsionによるhomology cylinderの成す代数構造の研究
まず、曲面からの包含写像が基本群の(m+1)階の可解商上に同型写像を導くようなhomology cylinderとして、コンパクト有向曲面の間のm次homology cylinderを導入し、正数mと第1Betti数が正である曲面に対して、それらの成すモノイドとそのhomology同境群が通常のhomology cylinderに対するものとは異なる曲面の写像類群の拡大であることを示した。更に、全てのmと第1Betti数が正である境界付き曲面に対して、曲面群の同様の可解商に自明に作用する既約なm次homology cylinderたちの成すモノイドが無限ランクのアーベル群を商として持つことを示した。
2.ねじれAlexander多項式の次数とThurston normの関係
線形表現に対する精密化されたReidemeister torsionの双対定理を示した。帰結として、境界が空かトーラスからなる向き付け可能なコンパクト既約3次元多様体に対して、双対と共役である線形表現と全ての境界成分への制限が非自明となるような第1cohomology群の原始的な元に付随するねじれAlexander多項式の次数が、線形表現の次元と第1cohomology類のThurston normの積と偶奇性が等しいことが得られた。