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担当区分：研究代表者  資金種別：競争的資金

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担当区分：研究代表者  資金種別：競争的資金

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配分額：17680000円 （ 直接経費：13600000円 、 間接経費：4080000円 ）

圧縮性Navier-Stokes方程式の時空周期解のまわりの線形化作用素のスペクトル解析を行い，解の時間無限大における漸近挙動の精密な様相を得た．人工圧縮方程式系の定常分岐点の近傍において線形化作用素のスペクトル解析を行い，人工マッハ数が小さい場合には，そのスペクトルは非圧縮性Navier-Stokes方程式の線形化作用素のスペクトルの摂動からなる部分と圧縮性特有の部分に分解されることを示した．この解析を圧縮性Navier-Stokes方程式のクエット流の安定性解析へと発展させた．

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担当区分：研究代表者  資金種別：競争的資金

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配分額：4290000円 （ 直接経費：3300000円 、 間接経費：990000円 ）

散逸系のパターン形成に関する研究として、捕食者の休眠を伴う被食者－捕食者系とよばれる３変数の常微分方程式の解の性質を調べた。また、ショウジョウバエの中腸幹細胞系の増殖と分化の制御機構を数理モデルを通して考察した。これらの結果は、SIAM Journal on Applied Mathematics, vol.71, pp.169-179 (2011), Journal of Biological Dynamics, vol.6, pp.267-276 (2012) 等の論文で公表された。

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配分額：12740000円 （ 直接経費：9800000円 、 間接経費：2940000円 ）

様々な空間的パターンを記述する反応拡散系に代表される散逸系のモデル方程式において，パターン形成に対応する空間的構造をもった解の存在や安定性が研究されている．今回の研究では，局在パターンとよばれるある領域に拡散物質が集中化する現象において，モデル方程式のもつ非局所的効果の役割を数学的に研究し，その数理的メカニズムを明らかにした． 具体的には，２つの未知変数の積分量の和が保存される反応拡散系において，局在パターンを表す定常解の安定性が積分項による非局所効果に依存していることを数学的に証明した．さらにその手法を他のモデル方程式の研究にも応用し，安定性に関する新しい知見を与えた．

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配分額：4160000円 （ 直接経費：3200000円 、 間接経費：960000円 ）

反応拡散系におけるフロント進行波，あるいはバック進行波と非一様拡散場との相互作用のダイナミクスを考察した。非一様性の強さに応じて，それによって影響を受ける進行波の様々なダイナミクスを中心多様体上の常微分方程式系に縮約することで，中心多様体上の力学的構造を明らかにした。
また，フロント型とバック型の進行波の強い相互作用で得られるパルス進行波と非一様拡散場との相互作用のダイナミクスも縮約系を用い同様の手法で力学的構造を明らかにした。

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担当区分：研究代表者  資金種別：競争的資金

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配分額：10270000円 （ 直接経費：7900000円 、 間接経費：2370000円 ）

超伝導やボース-アインシュタイン凝縮とよばれる通常のスケールで観測される量子現象を、数学的にモデル化した方程式が知られている。Ginzburg-Landau方程式はその代表的なモデル方程式である。このようなモデル方程式において、それらの現象を特徴的に表す運動(量子化された渦糸運動など)に対応する数学的な解の性質や構造を研究し、その結果として運動を表現する解が実際に存在し、また安定であることを数学的に示した。

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配分額：4420000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：1020000円 ）

2成分反応拡散系において,拡散係数(2成分とも)にステップ状の空間非一様な摂動を与えたときの解のダイナミクスを,中心多様体理論を用いて有限次元の常微分方程式に縮約し,その縮約系を解析することにより,全体の解構造(安定定常解,不安定定常解,不安定周期解の存在,Hopf分岐,ホモクリニック分岐,分水嶺解の役割など)を決定し,非一様性の為に起こる進行波の通過,停止,反射のメカニズムを理論的に明らかにした。

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配分額：3630000円 （ 直接経費：3000000円 、 間接経費：630000円 ）

本研究では、勾配・歪勾配構造をもつ反応拡散方程式を調べた。この構造に注目すると、反応拡散方程式の定常解の安定性をハミルトン形式を利用して調べることができる。また、捕食者の休眠が被食者-捕食者系の個体群動態を安定化する効果をもつことを示した。

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担当区分：研究代表者  資金種別：競争的資金

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配分額：16220000円 （ 直接経費：14600000円 、 間接経費：1620000円 ）

カオスや大自由度系を含む力学系の大域的構造とその分岐を幾何的方法, 位相的方法, 複素解析的方法, さらには応用に現れる具体的な数理モデルの解析などの様々な側面から研究して多くの成果を得た.特に本研究では, 位相的方法を, 精度保証付き数値計算に基づく計算的方法と組み合わせて力学系の大域的構造と分岐についての数学的に厳密な計算機支援解析の方法を開拓し, 特異分岐構造の存在, カオス的振舞いを示す記号力学系の埋め込み, 双曲性の検証などのいくつかの重要な問題を解決した.これは力学系の多様な振舞いを解析するための1つの有用な方法として今後, 発展していく可能性があると期待される.

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配分額：16500000円 （ 直接経費：15300000円 、 間接経費：1200000円 ）

フラクタル上の解析学と幾何学の関連について、次の2つの成果を得た。
(1) 自己相似集合上の自己相似的なDirichlet formから導かれる拡散過程の熱核(確率推移密度)の漸近共同を記述するのに最適な距離の構成を行った。具体的には、Dirichlet formのresistance rationと測度から決まる自己相似集合上のscaleに関して測度がvolume doublingであることが、熱核の対角成分がLi-Yau型のsub-Gaussian評価をみたすような距離が存在するための必要十分条件であることを示した。Barlow-Bassによって構成された(高次元の)Sierpinski carpet上の拡散過程の自己相似測度に関する時間変更に対応する熱核に対してこの結果をおうようした。そして、熱核の対角成分が、Li-Yau型のsub-Gaussian評価をみたすような距離が存在るための、自己相似測度の重みに関する簡単な必要十分条件を見いだした。
(2)Sierpinski gasket上の標準的なDirichlet formに付随する測度論的なRiemannian structureの研究を行った。その結果、Riemannian volumeに対応するDirichlet formのエネルギー測度がユークリッドの距離に関してvolume doublingとなることを示たた。また、geodesic metricがharmonic Sierpinski gasket上のshortest path metricと一致することを見いだし、上の結果と合わせて、Sierpinski gasket上のブラウン運動のエネルギー測度に関する時間変更の熱核がLi-Yau型のGaussian評価をみたすことを示した。

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配分額：4900000円 （ 直接経費：4900000円 ）

本研究では、電気化学系において双安定状態を誘起し、その環境下での顕微分光により、この協同化学反応の分子レベルでの機構解明を試みてきた。平成18年度においては、前年度の成果を元に、実際に顕微分光法を用いて研究を進め、以下に示す成果を挙げた。
1.電気化学反応波のチューニング
電気化学系で現れる化学反応波の発現機構を解明し、そのチューニング法を数理モデルに基づく数値計算・非線形分岐解析により確立した。この成果に基づき、界面活性剤の電極表面上での周期的吸着・脱離を伴う反応波の制御が可能であることを実験的に示した。
2.電気化学波の伝播を伴うAu薄膜成長過程の顕微分光による追跡
電気化学波の振動伝播を伴う気液界面上でのAu薄膜成長過程を顕微可視光吸収および顕微ラマン散乱(SERS)によりその場追跡した。その結果、自発的な電位振動に同期したSERS強度の増減が観測された。SEMによる構造解析などから、これはナノ微結晶の集合体からなる薄膜が、化学波の伝播に同期して連続膜へとその形を変えることに起因することが明らかとなった。

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配分額：8300000円 （ 直接経費：8300000円 ）

科学的才能にあふれる高校生と科学者集団とが合宿型セミナーなどを通して中・長期的に関わってゆく高大連携型の科学教育の実践を行い,その際に参加高校生たちの科学的思考や態度がどのように変容するかについて解析を行った。その結果,open-endな活動を行うことによって『失敗に対する頑強性』が養われることが明らかになった。また,科学的才能にあふれる高校生たちが現在の学校教育の中で抱える問題点についても考察した。
本研究では「数理科学セミナー」,「『数理の翼』夏季セミナー」および「福岡湧源セミナー」などの合宿型セミナーを主催および支援した。またインターネットを介した高校生と科学者集団との長期的な関わりを支援した。また高校生と科学研究者集団との中・長期的な高大連携型の科学教育の実践を行なってゆく中で,参加高校生たちの科学的思考がどのように変容するかについて解析を行った。その結果,open-endな活動を行なうことによって論理性が養われてゆく背景には,コンセプトのスケールフリーネットワーク性があることが明らかになった。また,科学的才能にあふれる高校生たちが現在の学校教育の中では、科学への興味・関心をストレートに表現できない『浮きこぼれ』ていることを発見した。このような観点から理数系科目の「才能ある生徒たち」にその資質に相当する科学プログラム(Science for Excellence)の必要性を提案した。

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配分額：3100000円 （ 直接経費：3100000円 ）

本研究では2006年に神戸インスティチュートで開催される国際研究集会の準備のために、海外研究者の動向及び研究体制を調査し研究テーマの絞込みなどを行なった。これらの企画・調査に際しては様式C-7-1にある代表者及び各分担者が得た成果等が重要な役割と果たしている。具体的には下記のとおりである。
研究集会の主テーマについて以下のことが調査からの考察によって得られた。
1.「過渡状態に現れるパターン」に関する「実験」,「モデル化」,「数値計算」,「数学解析」がお互い融合した研究集会はまだ海外でも十分行われていないことがわかった。ややもするとどれかに偏りやすい。この点を考慮してバランスの取れた研究集会を行うことの意義とその重要性が認識された。
2.1.の考えから研究集会名はUnderstanding of Complex Pattern Dynamicsと企画することにした。
研究集会にふさわしい国内外の研究者およびその研究内容について以下のことが調査によって得られた。
1.Markus Eiswirth教授(Fritz-Habar-Institut)と小川助教授(阪大)による電極表面に現れる電極電位の時空間パターンについて
2.De Wit教授(ブルッセル自由大)とJalel Azaiez教授(Calgary大)及び長津助手(名大)等によるヴィスコスフィンガリングに対する数値解析的観点からのアプローチについて
3.J.R.Ockendon教授(オックスフォード大)の過渡状態を再現する数理モデル論について
4.J.Pirouneau教授(パリ6大学)による界面ダイナミクスの計算に適した領域分割と有限要素法の開発について
5.小島教授(神戸大)による表面から直接観測できない内部界面減少(亀裂,破壊)の探索について
6.松下教授(中央大)と三村教授(明治大)による生物に現れる複雑なパターンの解析について
7.Mikula教授(スロバキア工科大)による過渡状態を把握する画像解析について

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配分額：1600000円 （ 直接経費：1600000円 ）

勾配・歪勾配構造は散逸系にハミルトン構造を自然に導くものである。この構造をもつ散逸系においては、時空間周期パターンの安定性は極めて単純で自然な公式によって決定される。この結果は、柳田教授との共著論文として、Physica D 175(2003)pp.185-195において発表した。また、多数の安定な空間周期パターンのうち、現実的にどの空間周期をもったパターンが最も高い確率で現れるのかというパターン選択問題を、勾配・歪勾配構造をもつ散逸系の場合に調べた。とくにパターン選択の基本原理ではないかと予想されている「臨界安定性仮説」を本研究の補助金によって購入したパソコンを利用した数値実験によって検証した。幸運にも、2004年度の春の日本数学会応用数学分科会(筑波大学)の特別講演者に推薦されたこともあり、この結果を学会の特別講演の形で発表することができた。この結果をまとめた論文は、SIAM J.Appl.Math.65(2005)pp.618-643において発表した。本年度は、これらの一連の研究に引き続いて、九州大学数理学研究院の栄伸一郎教授と龍谷大学理工学部の森田善久教授との共同研究を行い、反応拡散方程式に現れる特異摂動問題をハミルトン構造の視点から調べて、その成果をPhysica D 207(2005)pp.171-219で発表することができた。また、2005年度の秋の日本数学会応用数学分科会(岡山大学)でも研究発表することができた。一方、研究分担者の小川は、ミシャイコフ教授らのグループとの共同研究でSwift-Hohenberg方程式の分岐ダイアグラムを詳細に調べることに成功した。その結果は、SIAM J.Appl.Dyn.Sys.4(2005)pp.1-31において発表された。

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配分額：7300000円 （ 直接経費：7300000円 ）

今日まで様々な高大連携型の科学教育が行われているが,それらの活動のほとんどは不特定多数の(for ALLな)高校生たちと科学研究者との短期間の関わりで終わっている。しかしながら,意味のある(認知的)学習は時間を経ながら徐々に生じる累積的な過程である。このような考えの下に,われわれは科学的才能にあふれる(for Excellenceな)高校生と科学者集団とが中・長期的に関わってゆくことで,創造性や問題解決能力の育成など高校生たちの科学リテラシーに質的な変容が起きることを期待して本研究を行っている。
本研究では「数理科学セミナー」,「『数理の翼』夏季セミナー」および「福岡湧源セミナー」などの合宿型セミナーを主催および支援した。またインターネットを介した高校生と科学者集団との長期的な関わりを支援した。また高校生と科学研究者集団との中・長期的な高大連携型の科学教育の実践を行なってゆく中で,参加高校生たちの科学的思考がどのように変容するかについて解析を行った。その結果,open-endな活動を行なうことによって『失敗に対する頑強性』が養われることが明らかになった。また,科学的才能にあふれる高校生たちが現在の学校教育の中では、科学への興味・関心をストレートに表現できない『浮きこぼれ』ていることを発見した。このような観点から理数系科目の「才能ある生徒たち」にその資質に相当する科学プログラム(Science for Excellence)の必要性を提案した。

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配分額：11400000円 （ 直接経費：11400000円 ）

名和と石毛が運営メンバーに名を連ねる『語ろう「数理解析」』(http://www.gifu-u.ac.jp/~tisiwata/seminar/ma_seminar.html)を通して,様々な分野の研究者との議論の場を設ける事ができた。この活動などを通して、研究分担者各員は、各々の研究分野で成果をあげ、様々な研究集会など、複数の講演機会や海外への渡航機会も得て、情報交換がより密になされるようになった。
名和は、擬共型不変な非線形シュレディンガー方程式の爆発解に対して、その爆発速度と漸近挙動との間の関係性について、ひとつの結果を得る事ができた。これにより、次のステップとして、本格的にネルソン過程と呼ばれる解の背後にある確率過程と爆発速度との関係の追求に移る事ができる。また、微分型非線形シュレディンガー方程式の爆発解に対しても、漸近形に対しては、部分的に同様の結果を得た。さらに、これまでに開発した技術が、超伝導の理論に現れるような、非線形シュレディンガー方程式系の解析にも有効である事を見抜き、古典場ではあるが、クーパー対の生成とも言うべき性質を解が持ち得る事を示した。
石毛は、拡散係数が大きな半線形熱方程式の爆発解の爆発集合や漸近形に関する結果や、球の外部領域における線形熱方程式の解の最大点挙動および解の微分の無限遠方での減衰評価を得た。鈴木は、自己双対ゲージ模型におけるある種の自己組織化現象や,走化性方程式系の爆発問題に関して興味深い結果を得た。小川は、自発的パターン形成のモデルである、スイフト=ホッヘンバーグ方程式や,ある電気化学系のモデル方程式などの解に現れる時空パターンについて,力学系や分岐理論を用いた解析を行った。これらの解析の一部は、すでにシュレディンガー方程式の解の解析と精神を同じくしている部分もあり、今後のさらなる共振的な発展が期待される。

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配分額：4000000円 （ 直接経費：4000000円 ）

1.幾何クリスタル
BerensteinとKazhdanによって公理的に導入された幾何クリスタルをカッツ・ムーディーリー環のタイプがD^(1)_n型の場合に具体的に構成した。また、この幾何クリスタルの行列実現を用いて、積上で幾何クリスタルの作用と交換する双有理写像(トロピカルR)を明示的に構成し、それがヤン・バクスター方程式を満たすことを示した。幾何クリスタルは対応するリー環のディンキン図の各頂点に付随して存在すると考えられている。D型のディンキン図にはn個の頂点があるので、それぞれに応じて幾何クリスタルがあると予想されるが、最終年度、京都大学数理解析研究所の柏原正樹氏と協力してk=2の場合の幾何クリスタルをMathematicaで計算した。データは膨大で紙に書き出せる状態ではないが、これらを意味のある形で書き下すことはk=3以上の場合への拡張とともに今後の課題となる。
2.例外型アフィンリー環に付随するクリスタルおよびソリトンセルオートマトン
例外型アフィンリー環D_4^(3)型の有限クリスタルの一系列について座標表示を与え、また0作用を具体的に表示した。さらに、このクリスタルに付随してセルオートマトンを構成し、そこに現れるソリトンの内部自由度、2つのソリトンが散乱する際の内部自由度の変化を決定した。
3.反射壁のある箱玉系
重要な超離散可積分系の例である箱玉系を反射壁がある場合へと拡張した。これは通常の箱玉系同様、無限個の互いに可換な時間発展とそれに付随する保存量をもつことが示された。また、ソリトン状態を然るべく定義し、1ソリトンの反射則や2ソリトンの散乱則をクリスタルの組合せ論の言葉で記述した。

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配分額：3000000円 （ 直接経費：3000000円 ）

本研究では工学に登場する非整数階微分方程式の解析およびその差分化を行った。また高階微分方程式の境界値問題のグリーン関数についてソボレフ不等式の最良定数計算への応用を中心に調べ、さらにパターン形成の問題と関連して分岐解析法を整備した。得られた結果は以下の通りである。
1.流体力学に登場する非整数階微分方程式であるチェン方程式において、ピューズー展開法を用いてミッタークレフラー関数解を求めた。またこれらの初期値問題は、ミッタークレフラー関数の漸近挙動を用いることにより、(非整数階微分を含まない)2階および4階常微分方程式の境界値問題で近似されることを証明した。
2.地球内部のマントルの運動に関連して,球面上でのラプラス作用素の有限要素法による差分化を行い、反応拡散系でのパターン形成の数値シュミレーションを行った.この問題はレーリー・ベナール対流のパターン形成などとも関連し,分岐理論による解析法を整備した.球面上に現れたパターンの球面調和関数による分岐解析などは今後の課題である.
2.弾性理論に登場する4階常微分方程式の境界値問題のグリーン関数の区間長依存性を調べた。その結果、4階特有の興味深い現象が現れることを発見、解析的に証明した。同時に2M階常微分方程式のグリーン関数があるヒルベルト空間の再生核であることを証明し、この結果をソボレフ不等式の最良定数計算に応用した。

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配分額：3900000円 （ 直接経費：3900000円 ）

平成14年度は,夏休み期間を中心とした「高校生と科学者の対話を通したカリキュラムの開発」し,その結果を高校現場でネットワークを利用しながら展開した。具体的な取り組みは以下のとおりである。
1)第8回福岡湧源セミナー・・・九州地方の高校生の中から24名を選抜し,夏休み中に3日間(8月9日〜11日)の合宿形式でセミナーを行った。このセミナーの中で時計反応により化学反応の基本的な性質を理解し,その上で「BZ反応の不思議」について演示実験を交えて説明した。
2)第23回数理の翼セミナー・・・全国の高校生・大学生・大学院生を全国から選抜(高校生35名,大学生8名,大学院生2名)し,夏休み中に5日間(8月16日〜20日)の合宿形式でセミナーを行った。このセミナーにはSSH校に指定された岡山一宮高校の生徒が参加し,「BZ反応」に関するテーマを参加者および若手研究者がともに実験をしながらその現象に潜む数理について解明を行った。
3)広島大学附属高校SPPプロジェクト・・・広島大学附属高校(広島)のSPPプロジェクトの一環として,高校・大学連携遠隔授業実験『試験管の中の『ゆらぎ』の話-振動からパターンまで-』を企画・実施した。このプロジェクトは「3つのジョイント」(1)化学と数学の(学問的)ジョイント、(2)広島大学と大阪大学の(地理的)ジョイント、(3)高校生と教官と研究者のジョィントをコンセプトとして行った。
4)広島大学附属福山高校SPPプロジェクト・・・広島大学附属福山高校のSPPプロジェクトの一環として,夏期科学技術・理科学習プログラム「科学シミュレーションに挑戦しよう」に参画した。
5)福山明王台高校出張授業・・・高大連携の『出前授業』として,広島県立福山明王台高校において出張授業を行った。この授業では時計反応により化学反応の基本的な性質を時計反応の演示実験を交えて説明した。
6)岡山一宮高校自然科学入門講義・・・SSH研究指定校である岡山一宮高校において,理数科クラス1年生を中心に「自然科学入門講義」を行った。この講義では,岡山一宮高校から「数理の翼セミナー」に参加した生徒が提案した「BZ反応」に関するテーマについて,実験およびシミュレーションの両面から講義した。講義の中で疑問に思ったことは,継続して「課題研究」等の時間に探求しており,その過程は「掲示板」等を通して生徒と研究者との間でDiscussionが継続している。
以上の取り組みを通して,1)研究者が非常に多くのことを「教えること」によって「学んで」いること,2)学習者が「知り」,「理解」し,「納得」するプロセスにはかなりの時間が必要で,そのためには合宿形式のセミナーや事後のMAIL等を通したDiscussionが重要であることが明らかになった(右図)。このような視点から,高大連携プロジェクトには「サイエンスコーディネーター(あるいはディレクター)」の存在が不可欠であり,このような人材の育成が急務であることが示唆された。

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配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

粉粒体の現象などに現れる特徴的なパターン形成・発展に動機付けされて、多次元孤立波パターンを持つような現象論的モデル方程式を解析した。それによって、(1)孤立波パターンは分岐論的には複合モードとして現れることが明らかになった。また、(2)大域的な分岐構造を解析する道具を構築した。
(1)粉粒体の多次元パターンの数理的な解析がほとんど行われていないのは、まずは基礎方程式がないからであるが、流体のパターンからの対比でいくつかの縮約方程式が提案されている。スウィフト・ホヘンバーグ方程式は、熱対流のロールパターン形成の縮約モデルであるが、振動場での粉体のパターン形成などとの関連性が指摘されている。熱対流の通常の問題(レイリー・ベナール対流)では六角パターンなどの複合波は安定には存在しないことが知られているが、これに対して振動場の流体や粉体では振動周期によって異なる周期パターンが安定に観測される。一番簡単な場合には5次の非線形性を持つスウィフト・ホヘンバーグ方程式に帰着され、それによって説明される。すなわち周期解の構造をモード相互作用により調べると、3次のときより分岐構造はより豊富で、六角パターンなどの安定性が示された。より詳しくはたとえば亜臨界的に複合モード解が分岐し比較的広いパラメーター領域で分岐枝が階層的にターニングした複合モードが安定に得られた。これにより数々の複合モードや単一モードまた定数状態が同時に安定である状況もあり、粉体の実験グループが見つけている孤立波パターンなどと関連するのではないかと考えられる。これらは、現在整理して投稿準備中である。
(2)孤立波パターンは一般に大振幅なので弱非線型的に局所分岐理論では捉えられない。(1)でも述べたが大域分岐図を求めることがとりわけ重要であるが非線型系の大域的な状況を厳密に理解するのは難しい。そのために、大域分岐図を数値検証する方法を提案した。計算機により数値的に得られた分岐図を厳密に検証することをConley指数という位相的方法を用いて行った。解をガレルキン近似した有限次元部分と無限次元部分に分けて孤立化近傍を区間演算を用いて計算機で構成する。対流のパターン形成の単純モデルであるスウィフト・ホヘンバーグ方程式で、実際に大域分岐図の検証を行った。またこれは、通常の数値検証法と異なり、平衡点の安定性次元まで込みで検証できるという利点がある。このうち部分的な結果は下記のように発表予定である。大域分岐図を検証するには平衡点の存在のみならず一意性や分岐図以外の解の非存在なども示さなければならないが、これらを包括した結果は現在投稿準備中である。

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配分額：4700000円 （ 直接経費：4700000円 ）

本研究分担課題では、周期構造(周期的な進行波解や定常解)の分岐、分岐解の安定性解析、2次分岐とその周りのダイナミクスなどの研究を、ある種の非線形波動方程式に焦点をあてて行った。始めは液膜流などの流体の問題を起源とするKdV方程式(ソリトン系で知られる)の摂動系における周期解の振る舞いを解析することが目標であった。そのために整備した方法論が、非線形非平衡系における周期的なパターン形成の解析に広く適用されることがわかり、熱対流や粉体のパターンダイナミクスの解析も始まった。ある種の状況下では安定な複合モードが得られて、周期パターンにとどまらずより豊富なパターン構造も得られる。最終年度に行った研究集会ではこうした解析が複素ギンツブルグ・ランダウ方程式などの普遍的な方程式に適用可能であり重要であることが再認識された。また粉体のパターンに関連して5次の非線形性を持つスウィフト・ホヘンバーグ方程式の周期解の構造もモード相互作用により調べた。複合モードや単一モードまた定数状態が同時に安定である状況もあり、粉体の実験グループが見つけている孤立波パターンとも関連する。この大域分岐図の解析のために計算機により数値的に得られた分岐図を厳密に検証することを位相的方法を用いて行った。
一方、周期パターンの安定性を「勾配・歪勾配系」の概念からも解析した。その結果、生物の形態形成における活性化因子--抑制因子モデル方程式、熱対流におけるSwift-Hohenberg方程式が、勾配・歪勾配系の性質をみたすことを示すことができた。また、この性質をもつ方程式における縞状のパターンには、Eckhaus不安定性とzigzag不安定性の2種類の不安定性が普遍的に観察されることが示された。さらに、勾配・歪勾配系の概念が、古典力学におけるハミルトン形式に深く関係していることも示された。

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配分額：3700000円 （ 直接経費：3700000円 ）

当研究で可解格子模型の手法、ベーテ仮説を用いて、アフィンリー環の指標の研究を行ってきた。一方で、当初想定しなかったセルオートマトンに関する成果も得られた。
1.フェルミ公式
フェルミ公式はベーテ仮説の組合せ論から得られる正整数係数の多項式である。我々はこの多項式がアフィンリー環の化積分表現の分岐関数であると予想し、その根拠を量子群のクリスタルの理論を用して考察した。また、この予想をいくつかの場合に証明した。
2.ベーテ仮説の組合せ論
フェルミ公式と並んでベーテ仮説の組合せ論研究で重要なものとしてQ系といわれる代数関係式がある。国場は中西らとともにこのQ系の解をq=0におけるベーテ方程式から求めた。
3.ソリトンセルオートマトン
当初の研究計画に記さなかったが、我々の研究による新しい進展をみせたものが、このソリトンセルオートマトンの研究である。量子アフィン代数の有限次元表現のクリスタルからセルオートマトンが定義される。このセルオートマトンのソリトンの運動が2体の積に因子化し、2体の散乱則も有限クリスタルの組合せRを用いて明示的に表れることを示した。
4.離散可積分系
上述のソリトンセルオートマトンはアフィンリー環のタイプがAn^<(1)>型のとき、非自励離散KP方程式の超離散極限としても得られることがわかっていた。このアプローチによるソリトン性の証明や保存量の構成は永井らが取り組んだ。

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配分額：20000000円 （ 直接経費：20000000円 ）

1.流体のEuler方程式およびNavier-Stokes方程式の3次元流れのあるクラスについて、精密な数値計算を行い、種々のノルムの時間発展を調べ、これらがいずれの方程式の場合にも有限時間で無限大になる事を示唆する結果を得た。Euler方程式の場合には、後にConstantineによってそれが数学的に証明された。2.Navier-Stokes方程式の軸対称な相似解を考察して、その解がレイノルズ数無限大の極限で内部遷移層を持っことを発見した。更に、適当な仮定の下で内部遷移層の存在を証明することができた。3.流体に周期的な外力が加わる時のパラメーターの変化に伴って励起される波動の変化、即ち、定常解、周期解、倍周期解、カオス解等の分岐構造を弱非線形理論を用いて解明した。4.液膜流における周期進行波の波数選択問題を調べ、異なるモードの相互作用による周期解のmodulationについて、退化した分岐点のまわりでのヴェクトル場の標準系を求めることにより、複合モード波が現れるダイナミクスを完全に分類できた。5.熱対流問題の解空間の大域的理論をめざして、Ro11型解に対して、計算機援用証明法を適用し、その分岐曲線を大域的に追跡し、その存在を証明した。空間3次元の場合のRo11型、長方形型、六角形型の解のパターン形成とそれらの安定性、それらによる大域的分岐構造を解明する数値解析を行った。

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配分額：700000円 （ 直接経費：700000円 ）

KdV方程式等の可積分系の散逸摂動系においてはソリトンなどの局在した構造よりも周期構造(特に周期的な進行波)が重要な意味を持つ場合がある。そこで周期解の安定性と分岐,2次分岐とそのダイナミクスなどの研究を行った.これらは液膜流などの流体の問題が起源だが,非線形非平衡系におけるパターン形成の一種の典型的なものとも考えられる.
1.液膜流における周期進行波の波数選択問題を,周期解の周りの固有値問題を解くことによって調べた.静止状態からある有限波数域の周期解が分岐するときすべて線形不安定であることがわかった.
2.異なる波数の周期解が同時に分岐するので,それらの相互作用が起こりうる.異なるモードの相互作用をダイナミカルに見るために,適当な周期的境界条件を課し,2つの波数の周期解のみ分岐しうる状況を設定した.(これは特殊な状況ではなく,無限区間ではこれらが集積していると考えられる.)そこでは単一の周期解自身は安定ではなく,2つが重ねさった変調波が安定に得られることを,中心多様体上の力学系を考察することにより明らかにした.これは,分岐して得られた周期解の枝からの2次分岐である.中心多様体理論の一般的な適用ではなく,退化した分岐点のまわりで,ベクトル場の標準系を厳密に求めることにより,完全にダイナミクスを分類できた.(この最後の部分は現在,P.Bates,X-F.Chenとの共同研究として準備中である.)

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配分額：2900000円 （ 直接経費：2900000円 ）

1998年3月末までの4ケ月半の間、モスクワ大学のラトケビッチ教授が滞在された。この好機をとらえ、多孔質中の水と油の運動を記述するマスカット問題と呼ばれる非線形楕円形偏微分方程式に対する自由境界問題について共同研究を行った。教授の帰国後も継続している。マスカット問題の弱解を遷移層の厚さに対応する微小のパラメータεをもつ非線形放物形偏微分方程式のなめらかな解の弱極限として記述することを考えた。
領域が球一殻のように対称をもつ場合あるクラスの初期値から出発した解の列については、このことが正しいことがわかった。
結果は共著論文として発表予定である。

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配分額：3100000円 （ 直接経費：3100000円 ）

アフィンリー環の数理物理学における重要性は論をまたない。我々はこのアフィンリー環(あるいは量子アフィン代数)の表現論の研究を組合せ論的な観点から行なってきた。
1. デマズール加群とパス
量子アフィン代数には完全結晶と呼ばれるものが存在し、可積分表現の結晶基底が完全結晶の半無限テンソル積(パス)で表される。一方、デマズール加群という可積分表現の有限切断ともいうべきものもある。我々は一般的な状況のもとでデマズール加群がテンソル積の構造を持つための判定条件を導いた。また、現在知られているほとんどの完全結晶でこの判定条件が実際に満たされていることを確認した。
2. フェルミオン的公式
アフィンリー環の指標のマイナスサインを含まない表示をフェルミオン的表示という。我々はアフィンリー環のタイプがA型で表現の最高ウェイトがlΛ_0の時にストリング関数や分岐関数のフェルミオン公式を証明した。また、一般のねじれのないアフィンリー環について、古典制限パスの1次元状態和のフェルミオン的公式を予想した。これを証明することは今後の大きな課題である。
3. 可解格子模型
国場らはA型の頂点模型を考察し、その角転送行列のスペクトル分解を実行した。また、XXZ模型のqが1のべき根に相当する場合に量子転送行列の手法を用いてtransverse,longitudinal相関長についての積分方程式を導いた。
4. 近可積分系
小川はKdV方程式に摂動を加えた方程式を考察し、その波数選択性を理論的に理解するためにKdV方程式の周期進行波解の固有関数を利用し、その摂動計算から各波数のスペクトルを決定した。

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配分額：5100000円 （ 直接経費：5100000円 ）

平成9年度には次の進展があった.まず,単振り子や非調和振動子などのセパラトリックスをもつ可積分力学系を広田差分法を用いて時間離散化した.離散系もまたセパラトリックスと離散版の保存量をもつが,セパラトリックスに対応する保存量の値は連続系の場合に完全に一致することが明らかとなった.また,1元の非線形方程式の反復解法であるSteffensen法を拡張して任意の収束次数をもつ反復解法を定式化した.新しい反復解法はHankel行列式の比を反復関数としている.εアルゴリズムの援用により計算量の増大を押さえることができ,Kepler方程式の解法では実際にsteffensen法より計算量が減少することを確かめた.
平成10年度には次の進展があった.算術平均演算と幾何平均演算の組み合わせで定義される算術幾何平均のアルゴリズムが第1種完全楕円積分を保存量とする離散時間可積分系とみなせることを明らかにした.この発見を出発点に,まず,類似の算術調和平均のアルゴリズムを定式化し,幾何平均へ2次収束性する離散時間可積分系であることを示した.さらに,初期値を負とした算術調和平均のアルゴリズムがBernoulliシフトの力学系に共役な可解カオス系となることを証明した.また,算術調和平均のアルゴリズムの拡張を論じ,対称な正定値行列の空間(凸性をもつRiemann多様体)上で初期値の平方根行列に2次収束するアルゴリズムを発見した.

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配分額：1400000円 （ 直接経費：1400000円 ）

近年、KdV方程式などの可積分系だけでなく、液膜流やプラズマ、交通渋滞などに現れる可積分系の摂動型の方程式が脚光をあびてきた。液膜流のモデルは1次元のKdV方程式に散逸と不安定の摂動を加えた形のベニー方程式と呼ばれるものである。そこで際立った性質はKdV方程式では本来無数にあるはずのソリトン波のうちひとつが選択され存続し、一意的な速度・振幅の周期進行波解のみ選択されることである。これによって特に有限区間の周期境界条件下では高々有限個の進行波解しか存在しないということが知られていたが、本研究ではこれらの進行波解の安定性解析を行った。その際、線形化固有値問題をKdV方程式の線形化固有値問題の摂動に力学系的手法を用いて帰着し、固有値解析を行った。周期境界条件下での固有値問題は実はこの方程式での解の挙動(ある特定の波長が特に顕著に現れるという数値および物理実験からの予想)を説明するうえで特に重要である。(交通渋滞の問題ではmKdV方程式の摂動に帰着されるがそこでは波長は渋滞の長さを意味する。)KdV方程式の線形化固有値問題が楕円関数などで厳密に表せることをベースにして、摂動部分を数値的に計算した。それによってある波長域のみが安定であること、すなわち2つの異なった不安定化のメカニズムがあることがわかってきた。こうした半解析的-半数値的な手法はKdV方程式の摂動だけでなくより一般の近可積分系に応用できる可能性が高い。
また波膜流の方程式を2次元で考察するとき孤立したパルスが散在しある種の統制されたパターンを形作ることが数値計算により知られているが、漸近解析的な方法によりそのパターンを理解することができることがわかった。いちど孤立波が形成されるとそれらが孤立波のままで空間内を移動する。そのダイナミクスが理論的に得られて解の時間発展を予測できるようになった。

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配分額：1900000円 （ 直接経費：1900000円 ）

次の2つの自由境界問題について、数値解析の立場から、次の研究を行なった。
1.多孔質媒体中を流れる2つの互いに混じり合わない流体には、それらの流体の間に自由境界が発生する。1次元問題の解を用いて、2次元問題での平面波解を構成して、その界面の安定性を検証した。そのために、いろいろな波長の摂動を加え、その摂動の時間発展を数値実験により調べた。界面張力を無視するときは、短い波長の摂動ほど速く成長するとの結果がすでに知られている。本研究の目的は、界面張力の効果がある場合である。その結果、短い波長の摂動は消滅し、適当な長さの波長をもつ摂動が成長することが判明した。今後の課題として、界面張力の大きさと最も成長する摂動の波長の関係の調査、平面波解の代わりに同心円状の解を用いたときの自由境界の安定性の検討があげられる。
蒸発による損失を伴う退化型密度依存の拡散をする流体の問題には、流体の存在範囲を表す自由境界が現れる。初期の流体の分布によっては、ある時刻で新たな自由境界が現れる、すなわち、流体の存在範囲が分離することがある。空間1次元問題について、このような現象が現れるための十分条件を差分解の性質を用いて導出し、その条件の有効性を数値実験により検証した。その結果、我々の条件は比較的強いものであることが判明した。すなわち、条件が成立しなくても、分離現象が起こることが多いと思われる。したがって、一層の条件の緩和の研究が望まれる。また、空間2次元問題の解で対称性をもつものに対しても、分離問題の数値実験を試みたが、理論的な結果は、今後の課題として残された。

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配分額：4300000円 （ 直接経費：4300000円 ）

まず第1に、KdV方程式に2階と4階の空間微分作用素の散逸摂動を持つ典型的なモデル方程式として、傾斜面上を流れる液膜流を記述する方程式として知られるベニー方程式の解構造を調べたことである。特に摂動が小さいときに、力学系理論によってパルス進行波解を構成し、KdV方程式のソリトン解との比較を計算機解析及び(非線形非平衡系に対して用いられている)フエーズ・ダイナミクス法を用いて行なった。得られた結果は、KdV方程式には1-自由度を持つパルス、周期進行波解が存在するが、ベニー方程式は一意的にパルス、周期進行波解が選択されたことである。この解の安定性はこれまで知られていなかったが、線型化安定性解析によってこの問題を解決した。第2に、摂動が大きい場合のベニー方程式の解挙動である。この場合には摂動の強さを大きくすると分岐現象が起こり、非常に複雑な解構造が現われることが物理的説明から知られている。しかしながらその理論解析は現在の所非常に難しく、我々は計算機シミュレーション法に頼ることにし、スペクトル法、擬スペクトル法のパッケージを作り,今回購入したワークステーションを解構造追跡ソルバーとした。解構造を調べるには多大な計算とそのデータの可視化という問題が生じるが、これまで代表者が反応拡散方程式系に対しておこなってきた経験と実績がこれを可能にした。更にこの方法を、生物の集合形成を記述するある摂動を受けた保存系方程式に対して適用することにし、平衡解、パルス進行波解などの安定性を考察することもできた。これらの結果は非線形非平衡摂動を受けた可積分系、保存系の解析の上で重要な結果を与えるものと思われる。

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配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

1.軸対称問題の有限要素解析
問題が軸対称である状況の下では円筒座標系を導入することにより3次元問題が2次元化され計算量が格段に軽減する.しかしながら,元の問題にはなかった軸上での特異性が生じる.軸対称流れ問題に代表される鞍点型変分問題に対して,重み付き関数空間で近似問題の誤差評価を与えた.要素の選択には,従来の下限上限条件を尊重する混合型有限要素近似とその条件を必要としない安定化有限要素近似の双方に対して結果が成立する.後者の場合には,軸付近での要素分割にある種の対称性条件を付加することが必要であり,この条件の下で収束性を証明することができる.この方法を用いて球回りの流れの精確な抗力値を現在計算中である.角度方向の展開を考えれば,必ずしも軸対称でない解への解法の発展を考えるときにも,この解析は有用である.
2.Navier-Stokes方程式の有限要素解析
非圧縮粘性流体の運動を記述するNavier-Stokes方程式は,航空機,船舶,自動車,建築物などに関連する流体現象を解析する現実的な要請があり,その数値解析に対する期待は非常に大きい.現実に現れる流れ問題は高Reynlds数であり,拡散現象よりも移流現象が支配的になる.我々は近年,移流項高精度近似の風上型有限要素解法を開発した(M.Tabata and S.Fujima,International Journal for Numerical Methods in Fluids,12:305--322,1991)が,今回は,この解法を3次元問題へ拡張しその安定性を考察し,かつ,ベクトル計算機に対応する計算スキームの高性能化を行った.この結果,計算に必要となる記憶容量が大きく減少すると同時にベクトル計算機上での計算速度も向上し,この手法の現実問題への適用範囲が広がった.

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配分額：900000円 （ 直接経費：900000円 ）

散逸や不安定性の効果を持つ非線形波動方程式で知られるBenney方程式について昨年度に続いて更なる解析を行った。KdV方程式の摂動として捉えてKdVでは無数にあるソリトン解やcnoidal波解のうちそれぞれひとつの振幅・速度のもののみ選択されてBenney方程式の解になり得ることが昨年度明かにされたことである。
そこでそれらの解の安定性を調べることが今年度の課題であった。まず周期境界条件で有限区間の問題として捉えると区間の長さに応じて高々有限個の進行波が存在するが、数値計算によりモード数の低い解は不安定になることが示唆された。これはBenney方程式が元来持っている低波数モードの波を増長するという不安定性に起因することであり、現在数学的に解析中である。
逆にモード数の高い解は数値的には安定であることがわかった。区間の長さをパラメーターとしたときある長さの整数倍のところでHoph分岐として各モードの解が出現するがこれらは1モードを除いて不安定である。そこでこれの2次分岐を追跡するのもこれからの課題である。
また無限区間での進行波解の安定性についてはまだ手かかりがつかめたばかりだが、KdV方程式の安定性を扱った結果を応用して2-timing法的に扱える可能性がでてきた。これについては横浜市立大学の栄伸一郎と現在共同研究中である。
上記数値的安定性不安定性について平成5年12月の応用数学合同研究集会にて発表を行った。またその不安定性の数学的解析結果を平成6年4月の日本数学会にて発表予定である。

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