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Authorship：Principal investigator  Grant type：Competitive

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Authorship：Principal investigator  Grant type：Competitive

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Grant amount：\17680000 （ Direct Cost: \13600000 、 Indirect Cost：\4080000 ）

The spectra of linearized operators around spatio-temporal periodic states of the compressible Navier-Stokes system were investigated in detail to obtain a precise description of the large time behavior of solutions around such periodic states. The structure of the spectrum of the linearized operator of the artificial compressible system was studied around the bifurcation point of stationary solutions and it was proved that if the artificial Mach number is sufficiently small, then the spectrum is decomposed into two parts, one is given by a perturbation of the spectrum for the incompressible system and the other one arises from the compressible aspect of the equations. This analysis was extended to the case of the linearized operator at the Couette flow of the compressible Navier-Stokes equations.

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Authorship：Principal investigator  Grant type：Competitive

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Grant amount：\4290000 （ Direct Cost: \3300000 、 Indirect Cost：\990000 ）

We investigated properties of solutions of prey-predator system with dormant predators. Moreover, we proposed a mathematical model for the differentiation and proliferation of Drosophila intestinal stem cells.

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Grant amount：\12740000 （ Direct Cost: \9800000 、 Indirect Cost：\2940000 ）

There are various dissipative systems which are proposed as mathematical models describing pattern formations. In particular, corresponding solutions to pattern formations of reaction-diffusion systems have been much studied. In this research we have shown a new mathematical mechanism for nonlocal effects working in emergence of localized patterns. More specifically, we have studied 2-component reaction-diffusion systems with conservation of mass and proved that the nonlocal effect coming from the mass conservation is connected to the stability of the localized pattern. We also have developed the mathematical method and applied it to other model equations.

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Grant amount：\4160000 （ Direct Cost: \3200000 、 Indirect Cost：\960000 ）

Dynamics of interactions between traveling front or back waves and the heterogeneity in the media in reaction-diffusion systems are considered. Applying the center manifold theory, we clarify the structure of reduced ODE dynamics on a center manifold, depending on the strength of the heterogeneity.
Furthermore, dynamics of interactions between traveling pulses, which are given by semi-strong interactions between traveling front and back waves, and the heterogeneity are also considered.

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Authorship：Principal investigator  Grant type：Competitive

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Grant amount：\10270000 （ Direct Cost: \7900000 、 Indirect Cost：\2370000 ）

We investigate mathematical properties and structures of solutions to the model equations describing the superconductivity and Bose-Einstein condensation, which are typical macroscopic quantum phenomena. We obtained mathematical results on the bifurcation structure and the characteristic dynamics for the model equations such as the Ginzburg-Landau equations and other related equations.

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Grant amount：\4420000 （ Direct Cost: \3400000 、 Indirect Cost：\1020000 ）

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Grant amount：\3630000 （ Direct Cost: \3000000 、 Indirect Cost：\630000 ）

We studied the gradient/skew-gradient structure that enables us to apply the Hamiltonian formalism for studying the stability of stationary solutions in reaction-diffusion systems in various pattern formation problems. Moreover, we studied the stabilizing effect of dormancy of predators on the population dynamics of prey-predator systems.

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Authorship：Principal investigator  Grant type：Competitive

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Grant amount：\16220000 （ Direct Cost: \14600000 、 Indirect Cost：\1620000 ）

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Grant amount：\16500000 （ Direct Cost: \15300000 、 Indirect Cost：\1200000 ）

We have obtained the following two results on relations between analysis and geometry on fractals. The first result concerns a heat kernel associated with a time change of a process associated with a self-similar Dirichlet form on a self-similar set. We show an sufficient and necessary condition on the existence of a distance under which the heat kernel satisfy the on-diagonal Li-Yau type sub-Gaussian estimate. The second result is on the measurable Riemannian Geometry on the Sierpinski gasket. We show that the geodesic distance coincides with the shortest path metric on the harrmonic Sierpinski gasket and establilsh Li-Yau type Gaussian estimate of the heat kernel under the geodesic metric.

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Grant amount：\4900000 （ Direct Cost: \4900000 ）

本研究では、電気化学系において双安定状態を誘起し、その環境下での顕微分光により、この協同化学反応の分子レベルでの機構解明を試みてきた。平成18年度においては、前年度の成果を元に、実際に顕微分光法を用いて研究を進め、以下に示す成果を挙げた。
1.電気化学反応波のチューニング
電気化学系で現れる化学反応波の発現機構を解明し、そのチューニング法を数理モデルに基づく数値計算・非線形分岐解析により確立した。この成果に基づき、界面活性剤の電極表面上での周期的吸着・脱離を伴う反応波の制御が可能であることを実験的に示した。
2.電気化学波の伝播を伴うAu薄膜成長過程の顕微分光による追跡
電気化学波の振動伝播を伴う気液界面上でのAu薄膜成長過程を顕微可視光吸収および顕微ラマン散乱(SERS)によりその場追跡した。その結果、自発的な電位振動に同期したSERS強度の増減が観測された。SEMによる構造解析などから、これはナノ微結晶の集合体からなる薄膜が、化学波の伝播に同期して連続膜へとその形を変えることに起因することが明らかとなった。

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Grant amount：\8300000 （ Direct Cost: \8300000 ）

科学的才能にあふれる高校生と科学者集団とが合宿型セミナーなどを通して中・長期的に関わってゆく高大連携型の科学教育の実践を行い,その際に参加高校生たちの科学的思考や態度がどのように変容するかについて解析を行った。その結果,open-endな活動を行うことによって『失敗に対する頑強性』が養われることが明らかになった。また,科学的才能にあふれる高校生たちが現在の学校教育の中で抱える問題点についても考察した。
本研究では「数理科学セミナー」,「『数理の翼』夏季セミナー」および「福岡湧源セミナー」などの合宿型セミナーを主催および支援した。またインターネットを介した高校生と科学者集団との長期的な関わりを支援した。また高校生と科学研究者集団との中・長期的な高大連携型の科学教育の実践を行なってゆく中で,参加高校生たちの科学的思考がどのように変容するかについて解析を行った。その結果,open-endな活動を行なうことによって論理性が養われてゆく背景には,コンセプトのスケールフリーネットワーク性があることが明らかになった。また,科学的才能にあふれる高校生たちが現在の学校教育の中では、科学への興味・関心をストレートに表現できない『浮きこぼれ』ていることを発見した。このような観点から理数系科目の「才能ある生徒たち」にその資質に相当する科学プログラム(Science for Excellence)の必要性を提案した。

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Grant amount：\3100000 （ Direct Cost: \3100000 ）

本研究では2006年に神戸インスティチュートで開催される国際研究集会の準備のために、海外研究者の動向及び研究体制を調査し研究テーマの絞込みなどを行なった。これらの企画・調査に際しては様式C-7-1にある代表者及び各分担者が得た成果等が重要な役割と果たしている。具体的には下記のとおりである。
研究集会の主テーマについて以下のことが調査からの考察によって得られた。
1.「過渡状態に現れるパターン」に関する「実験」,「モデル化」,「数値計算」,「数学解析」がお互い融合した研究集会はまだ海外でも十分行われていないことがわかった。ややもするとどれかに偏りやすい。この点を考慮してバランスの取れた研究集会を行うことの意義とその重要性が認識された。
2.1.の考えから研究集会名はUnderstanding of Complex Pattern Dynamicsと企画することにした。
研究集会にふさわしい国内外の研究者およびその研究内容について以下のことが調査によって得られた。
1.Markus Eiswirth教授(Fritz-Habar-Institut)と小川助教授(阪大)による電極表面に現れる電極電位の時空間パターンについて
2.De Wit教授(ブルッセル自由大)とJalel Azaiez教授(Calgary大)及び長津助手(名大)等によるヴィスコスフィンガリングに対する数値解析的観点からのアプローチについて
3.J.R.Ockendon教授(オックスフォード大)の過渡状態を再現する数理モデル論について
4.J.Pirouneau教授(パリ6大学)による界面ダイナミクスの計算に適した領域分割と有限要素法の開発について
5.小島教授(神戸大)による表面から直接観測できない内部界面減少(亀裂,破壊)の探索について
6.松下教授(中央大)と三村教授(明治大)による生物に現れる複雑なパターンの解析について
7.Mikula教授(スロバキア工科大)による過渡状態を把握する画像解析について

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Grant amount：\1600000 （ Direct Cost: \1600000 ）

勾配・歪勾配構造は散逸系にハミルトン構造を自然に導くものである。この構造をもつ散逸系においては、時空間周期パターンの安定性は極めて単純で自然な公式によって決定される。この結果は、柳田教授との共著論文として、Physica D 175(2003)pp.185-195において発表した。また、多数の安定な空間周期パターンのうち、現実的にどの空間周期をもったパターンが最も高い確率で現れるのかというパターン選択問題を、勾配・歪勾配構造をもつ散逸系の場合に調べた。とくにパターン選択の基本原理ではないかと予想されている「臨界安定性仮説」を本研究の補助金によって購入したパソコンを利用した数値実験によって検証した。幸運にも、2004年度の春の日本数学会応用数学分科会(筑波大学)の特別講演者に推薦されたこともあり、この結果を学会の特別講演の形で発表することができた。この結果をまとめた論文は、SIAM J.Appl.Math.65(2005)pp.618-643において発表した。本年度は、これらの一連の研究に引き続いて、九州大学数理学研究院の栄伸一郎教授と龍谷大学理工学部の森田善久教授との共同研究を行い、反応拡散方程式に現れる特異摂動問題をハミルトン構造の視点から調べて、その成果をPhysica D 207(2005)pp.171-219で発表することができた。また、2005年度の秋の日本数学会応用数学分科会(岡山大学)でも研究発表することができた。一方、研究分担者の小川は、ミシャイコフ教授らのグループとの共同研究でSwift-Hohenberg方程式の分岐ダイアグラムを詳細に調べることに成功した。その結果は、SIAM J.Appl.Dyn.Sys.4(2005)pp.1-31において発表された。

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Grant amount：\7300000 （ Direct Cost: \7300000 ）

今日まで様々な高大連携型の科学教育が行われているが,それらの活動のほとんどは不特定多数の(for ALLな)高校生たちと科学研究者との短期間の関わりで終わっている。しかしながら,意味のある(認知的)学習は時間を経ながら徐々に生じる累積的な過程である。このような考えの下に,われわれは科学的才能にあふれる(for Excellenceな)高校生と科学者集団とが中・長期的に関わってゆくことで,創造性や問題解決能力の育成など高校生たちの科学リテラシーに質的な変容が起きることを期待して本研究を行っている。
本研究では「数理科学セミナー」,「『数理の翼』夏季セミナー」および「福岡湧源セミナー」などの合宿型セミナーを主催および支援した。またインターネットを介した高校生と科学者集団との長期的な関わりを支援した。また高校生と科学研究者集団との中・長期的な高大連携型の科学教育の実践を行なってゆく中で,参加高校生たちの科学的思考がどのように変容するかについて解析を行った。その結果,open-endな活動を行なうことによって『失敗に対する頑強性』が養われることが明らかになった。また,科学的才能にあふれる高校生たちが現在の学校教育の中では、科学への興味・関心をストレートに表現できない『浮きこぼれ』ていることを発見した。このような観点から理数系科目の「才能ある生徒たち」にその資質に相当する科学プログラム(Science for Excellence)の必要性を提案した。

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Grant amount：\11400000 （ Direct Cost: \11400000 ）

Nawa and Ishige (collaboration with Ishiwata and Sakajo) organizes a seminar (http://www.gifu-u.ac.jp/~tisiwata/seminar/ma_seminar.html) ; we had many opportunities to have discussions and interactions with researchers from several fields of mathematical sciences through the seminar.
For blowup solutions of the pseudo-conformally invariant nonlinear Schrodinger equation (pc-NLS), Nawa obtain some relation between their asymptotic behavior and blowup rates. This result enable him to launch into a full-dress investigation of blowup rate via the Nelson process behind the solution. He also obtain some analogous results on the derivative nonlinear Schrodinger equation. It turns out that the method developed for pc-NLS is useful for investigating a coupled system of NLS which is modeled on the BCS reduced Hamiltonian in a classical context ; we can see pair-creation in solutions of this classical field equation.
Ishige succeeded to characterize the blowup set for semilinear heat equations with Neuman boundary conditions. He also investigated the hot spot movement of solutions of the linear heat equation on the exterior domain of a ball under the Dirichlet or Neuman boundary conditions. In the course of the study, he obtain useful results to make further investigation into the asymptotic behavior of solutions for more general reaction diffusion equations.
Among other his results on several fields of mathematical sciences, Suzuki made an interesting study on self-dual gauge field equations via blowup analysis, and on blowup problem for simplified system of chemotaxis ; continuation of the solution after blowup, blowup in infinite time, etc.
Ogawa developed a theory on the topological verification for numerical analysis via Conley index to obtain rigorous results for formation of localized patterns in solutions to the quintic Swift-Hohenberg equation. He also investigated the oscillatory behavior in an Electrochemical reaction diffusion system ; he conducted a bifurcation analysis with an aid of numerical analysis.

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Grant amount：\4000000 （ Direct Cost: \4000000 ）

(i) Geometric crystal
Geometric crystal, indtoduced axiomatically by Berenstein and Kazhdan, was consttructed explicitly for type D^(1)_n of Kac-Moody Lie algebras. By using a matrix realization of this geometric crystal, we constructed a birational mapping on the product (tropical R) commuting with the action of the geometric crystal and also,showed that it satisfies the Yang-Baxter equation. It is believed that a geometric crystal exists arrogated to each vertex of the Dynkin diagram corresponding to the Lie algebra. For type D, there are n vertices, so it is expected that there are n distinct geometric crystals. During the last yeah we calculated the geometric crystal for k=2 by Mathematics in collaboration with Masaki Kashiwara at RIMS, Kyoto University. Data is huge and no way to print it out. However to write it down in a meaningful manner is, besides with the extension to the case when k is greater than 2, becomes a future problem.
(ii)Crystal and soliton cellular automaton associated to an exceptional acne Lie algebra
Coordinate representation of a series of finite crystals for an exceptional affine Lie algebra D_4^(3) is given and the zero action is explicitly obtained. Moreover we constructed a cell automaton corresponding to this series of crystals and determined the internal degree of freedom of the solitons appearing in the system and the scattering rule of two solitons.
(iii)Box-ball system with reflecting end
We have extended the box-ball system, an important example of ultra discrete integrable systems, to the case with one reflecting end. Similar to the usual box-ball system, it has an infinite family of commuting time evolutions and conserved quantities associated to each time evolution. We also defined soliton states and described the reflection rule of one soliton and the scattering rule of two solitons in terms of combinatorics of crystals.

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Grant amount：\3000000 （ Direct Cost: \3000000 ）

本研究では工学に登場する非整数階微分方程式の解析およびその差分化を行った。また高階微分方程式の境界値問題のグリーン関数についてソボレフ不等式の最良定数計算への応用を中心に調べ、さらにパターン形成の問題と関連して分岐解析法を整備した。得られた結果は以下の通りである。
1.流体力学に登場する非整数階微分方程式であるチェン方程式において、ピューズー展開法を用いてミッタークレフラー関数解を求めた。またこれらの初期値問題は、ミッタークレフラー関数の漸近挙動を用いることにより、(非整数階微分を含まない)2階および4階常微分方程式の境界値問題で近似されることを証明した。
2.地球内部のマントルの運動に関連して,球面上でのラプラス作用素の有限要素法による差分化を行い、反応拡散系でのパターン形成の数値シュミレーションを行った.この問題はレーリー・ベナール対流のパターン形成などとも関連し,分岐理論による解析法を整備した.球面上に現れたパターンの球面調和関数による分岐解析などは今後の課題である.
2.弾性理論に登場する4階常微分方程式の境界値問題のグリーン関数の区間長依存性を調べた。その結果、4階特有の興味深い現象が現れることを発見、解析的に証明した。同時に2M階常微分方程式のグリーン関数があるヒルベルト空間の再生核であることを証明し、この結果をソボレフ不等式の最良定数計算に応用した。

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Grant amount：\3900000 （ Direct Cost: \3900000 ）

平成14年度は,夏休み期間を中心とした「高校生と科学者の対話を通したカリキュラムの開発」し,その結果を高校現場でネットワークを利用しながら展開した。具体的な取り組みは以下のとおりである。
1)第8回福岡湧源セミナー・・・九州地方の高校生の中から24名を選抜し,夏休み中に3日間(8月9日〜11日)の合宿形式でセミナーを行った。このセミナーの中で時計反応により化学反応の基本的な性質を理解し,その上で「BZ反応の不思議」について演示実験を交えて説明した。
2)第23回数理の翼セミナー・・・全国の高校生・大学生・大学院生を全国から選抜(高校生35名,大学生8名,大学院生2名)し,夏休み中に5日間(8月16日〜20日)の合宿形式でセミナーを行った。このセミナーにはSSH校に指定された岡山一宮高校の生徒が参加し,「BZ反応」に関するテーマを参加者および若手研究者がともに実験をしながらその現象に潜む数理について解明を行った。
3)広島大学附属高校SPPプロジェクト・・・広島大学附属高校(広島)のSPPプロジェクトの一環として,高校・大学連携遠隔授業実験『試験管の中の『ゆらぎ』の話-振動からパターンまで-』を企画・実施した。このプロジェクトは「3つのジョイント」(1)化学と数学の(学問的)ジョイント、(2)広島大学と大阪大学の(地理的)ジョイント、(3)高校生と教官と研究者のジョィントをコンセプトとして行った。
4)広島大学附属福山高校SPPプロジェクト・・・広島大学附属福山高校のSPPプロジェクトの一環として,夏期科学技術・理科学習プログラム「科学シミュレーションに挑戦しよう」に参画した。
5)福山明王台高校出張授業・・・高大連携の『出前授業』として,広島県立福山明王台高校において出張授業を行った。この授業では時計反応により化学反応の基本的な性質を時計反応の演示実験を交えて説明した。
6)岡山一宮高校自然科学入門講義・・・SSH研究指定校である岡山一宮高校において,理数科クラス1年生を中心に「自然科学入門講義」を行った。この講義では,岡山一宮高校から「数理の翼セミナー」に参加した生徒が提案した「BZ反応」に関するテーマについて,実験およびシミュレーションの両面から講義した。講義の中で疑問に思ったことは,継続して「課題研究」等の時間に探求しており,その過程は「掲示板」等を通して生徒と研究者との間でDiscussionが継続している。
以上の取り組みを通して,1)研究者が非常に多くのことを「教えること」によって「学んで」いること,2)学習者が「知り」,「理解」し,「納得」するプロセスにはかなりの時間が必要で,そのためには合宿形式のセミナーや事後のMAIL等を通したDiscussionが重要であることが明らかになった(右図)。このような視点から,高大連携プロジェクトには「サイエンスコーディネーター(あるいはディレクター)」の存在が不可欠であり,このような人材の育成が急務であることが示唆された。

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Grant amount：\2100000 （ Direct Cost: \2100000 ）

粉粒体の現象などに現れる特徴的なパターン形成・発展に動機付けされて、多次元孤立波パターンを持つような現象論的モデル方程式を解析した。それによって、(1)孤立波パターンは分岐論的には複合モードとして現れることが明らかになった。また、(2)大域的な分岐構造を解析する道具を構築した。
(1)粉粒体の多次元パターンの数理的な解析がほとんど行われていないのは、まずは基礎方程式がないからであるが、流体のパターンからの対比でいくつかの縮約方程式が提案されている。スウィフト・ホヘンバーグ方程式は、熱対流のロールパターン形成の縮約モデルであるが、振動場での粉体のパターン形成などとの関連性が指摘されている。熱対流の通常の問題(レイリー・ベナール対流)では六角パターンなどの複合波は安定には存在しないことが知られているが、これに対して振動場の流体や粉体では振動周期によって異なる周期パターンが安定に観測される。一番簡単な場合には5次の非線形性を持つスウィフト・ホヘンバーグ方程式に帰着され、それによって説明される。すなわち周期解の構造をモード相互作用により調べると、3次のときより分岐構造はより豊富で、六角パターンなどの安定性が示された。より詳しくはたとえば亜臨界的に複合モード解が分岐し比較的広いパラメーター領域で分岐枝が階層的にターニングした複合モードが安定に得られた。これにより数々の複合モードや単一モードまた定数状態が同時に安定である状況もあり、粉体の実験グループが見つけている孤立波パターンなどと関連するのではないかと考えられる。これらは、現在整理して投稿準備中である。
(2)孤立波パターンは一般に大振幅なので弱非線型的に局所分岐理論では捉えられない。(1)でも述べたが大域分岐図を求めることがとりわけ重要であるが非線型系の大域的な状況を厳密に理解するのは難しい。そのために、大域分岐図を数値検証する方法を提案した。計算機により数値的に得られた分岐図を厳密に検証することをConley指数という位相的方法を用いて行った。解をガレルキン近似した有限次元部分と無限次元部分に分けて孤立化近傍を区間演算を用いて計算機で構成する。対流のパターン形成の単純モデルであるスウィフト・ホヘンバーグ方程式で、実際に大域分岐図の検証を行った。またこれは、通常の数値検証法と異なり、平衡点の安定性次元まで込みで検証できるという利点がある。このうち部分的な結果は下記のように発表予定である。大域分岐図を検証するには平衡点の存在のみならず一意性や分岐図以外の解の非存在なども示さなければならないが、これらを包括した結果は現在投稿準備中である。

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Grant amount：\4700000 （ Direct Cost: \4700000 ）

Structures of periodic patterns (periodic stationary solutions or traveling wave solution whose wave profile is periodic) are studied. More precisely, we study bifurcations of these solutions, stability of bifiucated solutions secondary bifurcation and the dynamics around them. First we study the behavior of periodic solutions to a perturbed integrable systems which is originally a physical problem that describe wave motion on a liquid layer over an inclined plane. Nest, these method turns out to be applicable to more general nonlinear wave phenomena, such as the Swift-Hohenberg equation which is a simple model of thermal convection. By the mathematical rigorous normal form analysis, sometimes referred to as "weak nonlinear analisys", we could show the existence of non-trivial stable mixed mode solutions to these equations and this corresponds to the modulated wave solutions. In the case of Swift-Hohenberg equation we found a localized patterns of pulses as well as the mixed mode solution by using the numerical simulation. And later we prove the existence of these solutions by numerical verification technique.
On the other hand we study the stability of periodic patterns in the context of gradient/skew gradient systems. As a result, we could show that activator-inhibitor system and the Swift-Hohenberg equations are skew gradient and also the dynamics of periodic roll patterns in these system are controlled by the Eckhaus instability and Zigzag instability.

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Grant amount：\3700000 （ Direct Cost: \3700000 ）

In this research, we have investigated affine Lie algebra characters using a method in solvable lattice models, Bethe Ansatz. We also obtained important results on cellular automata which had not been predicted at the beginning of the project.
1. Fermionic formula. Fermionic formula is a polynomial with positive integer coefficients arising from combinatorics of Bethe Ansatz. We conjectured that this polynomial gives the branching function of an integrable representation of an affine Lie algebra, and considered its evidence using the crystal theory in quantum group. We also proved this conjecture in several cases.
2. Combinatorics of Bethe Ansatz. Besides fermionic formulae, there is an important sysmtem of algebraic equations, called Q-system, in combinatorial studies of Bethe Ansatz. Kuniba, with Nakanishi et al., obtained a solution of this Q-system from Bethe equations at q = 0.
3. Soliton cellular automaton. Although this research was not in our mind at the beginning, there was a new progress by us in the studies of soliton sellular automata. A cellular automaton is defined from the crystal of a finite dimensional representation of a quantum affine algebra. We showed that the motion of solitons in this cellular automaton factorizes into the product of 2-body ones and their scattering rule is explicitly given using the combinatorial R of finite crystals.
4. Discrete integrable systems. The above mentioned soliton cellular automaton in the case of affine Lie algebra An^<(1)> has been known to be obtained from the ultra discrete limit of the nonautonomous discrete KP equation. Nagai et al. proved the solitonical nature and constructed conserved quantities from this approach.

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Grant amount：\20000000 （ Direct Cost: \20000000 ）

1. The precise numerical computation are performed for a class of three dimensional flows governed by the Euler Equation and Navier-Stokes equation. They suggest that both solutions develop the singularities such as the various norms tend to infinity in finite time. In fact suggested by these experiments later Constantine showed the development of the singularities for the case of the Euler equation. That for the Navier-Stokes equation is not yet proved.
2. Some axially symmetric similarity solutions are investigated for the Navier-Stokes equation and it is found that the solution has an interior layer as the Reynolds number tends to infinity. Especially in appropriate conditions it is proved that the interior layer exists.
3. When the external periodic forces act on fluids, various waves such as stationary, periodic, doubly periodic and chaotic waves are investigated and clarified the bifurcation of them.
4. Some periodic traveling waves of the thin layer fluids are investigated on the modulations by the interaction of two periodic modes and the normal forms analysis classifies the dynamics of complex modes completely.
5. To develop a global theory for the solution space of heat convection problem, a computer assisted proof is applied especially on the roll-type solutions the global bifurcation branch is obtained and proved about the existence.
Pattern formations in the three dimensional case such as roll-type, rectangle-type and hexagonal-type solutions are obtained by the numerical computations and examined their stability and bifurcation branches globally in the space.

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Grant amount：\700000 （ Direct Cost: \700000 ）

KdV方程式等の可積分系の散逸摂動系においてはソリトンなどの局在した構造よりも周期構造(特に周期的な進行波)が重要な意味を持つ場合がある。そこで周期解の安定性と分岐,2次分岐とそのダイナミクスなどの研究を行った.これらは液膜流などの流体の問題が起源だが,非線形非平衡系におけるパターン形成の一種の典型的なものとも考えられる.
1.液膜流における周期進行波の波数選択問題を,周期解の周りの固有値問題を解くことによって調べた.静止状態からある有限波数域の周期解が分岐するときすべて線形不安定であることがわかった.
2.異なる波数の周期解が同時に分岐するので,それらの相互作用が起こりうる.異なるモードの相互作用をダイナミカルに見るために,適当な周期的境界条件を課し,2つの波数の周期解のみ分岐しうる状況を設定した.(これは特殊な状況ではなく,無限区間ではこれらが集積していると考えられる.)そこでは単一の周期解自身は安定ではなく,2つが重ねさった変調波が安定に得られることを,中心多様体上の力学系を考察することにより明らかにした.これは,分岐して得られた周期解の枝からの2次分岐である.中心多様体理論の一般的な適用ではなく,退化した分岐点のまわりで,ベクトル場の標準系を厳密に求めることにより,完全にダイナミクスを分類できた.(この最後の部分は現在,P.Bates,X-F.Chenとの共同研究として準備中である.)

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Grant amount：\2900000 （ Direct Cost: \2900000 ）

The differential-integral equation with time lag, Chen's equation, was studied by constructing the fundamental solutions using Puiseux and Laplace expansions. Also, long-time behavior of the equation was determined in detail by the asymptotic series characterized by the Mittag-Leffler function. Chen's equation originally describes the motion of a spherical particle in fluid have a close connection with the equations of dynamics of 2-species fluids mixture.
Professor Radkevich in Moscow University had been staying at our department for four and half months through March 1998. The Muskat problem, nonlinear elliptic partial differential equation describing the interfacial motion between oil and water, has been studied jointly with him. The joint work is still going on. Our main idea is to characterize the weak solution to the Muskat problem as the weak-limit of the smooth solution of the nonlinear parabolic partial differential equation which has the small parameter corresponding the width of the interface. This idea is actually true for the case of the symmetric domain as a ball. These results will appear in the journal, Applicable Analysis.

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Grant amount：\3100000 （ Direct Cost: \3100000 ）

The affine Lie algebra is of great importance in mathematical physics. We investigate representation theory of affine Lie algebras (or quantum affine algebras) from the combinatorial viewpoint.
1. Demazure modules and paths
For a quantum affine algebra there exist perfect crystals, and the crystal base of an integrable repre-sentation is described by the semi-infinite tensor product of perfect crystals (path). On the other hand, there also exists a Demazure module, which can be thought of as a finite truncation of the integrable representation. We presented a criterion for the Demazure module to have the tensor product structure in general setting. We also checked that this criterion is satisfied for almost all known perfect crystals.
2. Fermionic formula
An expression without minus sign of the affine Lie algebra character is sometimes called fermionic formula. We proved such fermionic formulae for the string and branching function when the affine Lie algebra is of type A and the highest weight of the representation is lALAMBDA_0. We also conjectured fermionic formulae of one dimensional configuration sums of classically restricted paths for an arbitrary untwisted affine Lie algebra. It is an important open problem to prove them.
3. Solvable lattice models
Kuniba et al. considered a solvable vertex model of type A and performed the spectral decomposition of its corner transfer matrix. They also derived an integral equation for the transverse, longitudinal correlation length for the XXZ model at q a root of unity via quantum transfer matrix method.
4. Nearly-integrable systems
Ogawa considered an equation with perturbation effect from the KdV equation. To understand theoretically the selectivity of wave numbers, he used the eigenfunctions of periodic traveling wave solutions for the KdV equation, and determined the spectra of the wave numbers by perturbative calculation.

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Grant amount：\5100000 （ Direct Cost: \5100000 ）

In 1997 the following results are given. First time discretizations of the simple pendulum and asymmetric oscillator in terms of Hirota's discretization procedure are derived. Here these continuous time equations of motion have separatorix in the phase space. The resulting discrete time systems also have separatorix and conserved quantities. It is proved that the value of the conserved quantity corresponding to the separatorix is remarkable equal to that of the original continuous time system. Secondly, a new extension of the Steffensen iteration method for solving a single nonlinear equation is formulated whose convergence rate is of order k+ 1. The iteration function is defined by using a ratio of Hankel determinants. The use of epsilon -algorithm diminishes the computational complexity. For a special case of the Kepler equation, the numbers of mappings are actually decreased.
In 1998, it is shown that Gauss' algorithm for arithmetic-geometric mean can be regarded as a discrete-time integrable system having an elliptic theta function solution and a conserved quantity. Starting from this observation the head investigator introduces an arithmetic-harmonic mean algorithm which is an integrable discrete time integrable system. While the arithmetic-harmonic mean algorithm in infinite case is proved to be a chaotic dynamics which is conjugate to the Bernoulli shift. Finally, an extension of the arithmetic-harmonic mean algorithm to the space of positive definite symmetric matrices, a convex Riemannian manifold, is established. As an application an algorithm for computing square root of a positive definite matrix is designed which has a quadratic convergence rate.

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Grant amount：\1400000 （ Direct Cost: \1400000 ）

近年、KdV方程式などの可積分系だけでなく、液膜流やプラズマ、交通渋滞などに現れる可積分系の摂動型の方程式が脚光をあびてきた。液膜流のモデルは1次元のKdV方程式に散逸と不安定の摂動を加えた形のベニー方程式と呼ばれるものである。そこで際立った性質はKdV方程式では本来無数にあるはずのソリトン波のうちひとつが選択され存続し、一意的な速度・振幅の周期進行波解のみ選択されることである。これによって特に有限区間の周期境界条件下では高々有限個の進行波解しか存在しないということが知られていたが、本研究ではこれらの進行波解の安定性解析を行った。その際、線形化固有値問題をKdV方程式の線形化固有値問題の摂動に力学系的手法を用いて帰着し、固有値解析を行った。周期境界条件下での固有値問題は実はこの方程式での解の挙動(ある特定の波長が特に顕著に現れるという数値および物理実験からの予想)を説明するうえで特に重要である。(交通渋滞の問題ではmKdV方程式の摂動に帰着されるがそこでは波長は渋滞の長さを意味する。)KdV方程式の線形化固有値問題が楕円関数などで厳密に表せることをベースにして、摂動部分を数値的に計算した。それによってある波長域のみが安定であること、すなわち2つの異なった不安定化のメカニズムがあることがわかってきた。こうした半解析的-半数値的な手法はKdV方程式の摂動だけでなくより一般の近可積分系に応用できる可能性が高い。
また波膜流の方程式を2次元で考察するとき孤立したパルスが散在しある種の統制されたパターンを形作ることが数値計算により知られているが、漸近解析的な方法によりそのパターンを理解することができることがわかった。いちど孤立波が形成されるとそれらが孤立波のままで空間内を移動する。そのダイナミクスが理論的に得られて解の時間発展を予測できるようになった。

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Grant amount：\1900000 （ Direct Cost: \1900000 ）

次の2つの自由境界問題について、数値解析の立場から、次の研究を行なった。
1.多孔質媒体中を流れる2つの互いに混じり合わない流体には、それらの流体の間に自由境界が発生する。1次元問題の解を用いて、2次元問題での平面波解を構成して、その界面の安定性を検証した。そのために、いろいろな波長の摂動を加え、その摂動の時間発展を数値実験により調べた。界面張力を無視するときは、短い波長の摂動ほど速く成長するとの結果がすでに知られている。本研究の目的は、界面張力の効果がある場合である。その結果、短い波長の摂動は消滅し、適当な長さの波長をもつ摂動が成長することが判明した。今後の課題として、界面張力の大きさと最も成長する摂動の波長の関係の調査、平面波解の代わりに同心円状の解を用いたときの自由境界の安定性の検討があげられる。
蒸発による損失を伴う退化型密度依存の拡散をする流体の問題には、流体の存在範囲を表す自由境界が現れる。初期の流体の分布によっては、ある時刻で新たな自由境界が現れる、すなわち、流体の存在範囲が分離することがある。空間1次元問題について、このような現象が現れるための十分条件を差分解の性質を用いて導出し、その条件の有効性を数値実験により検証した。その結果、我々の条件は比較的強いものであることが判明した。すなわち、条件が成立しなくても、分離現象が起こることが多いと思われる。したがって、一層の条件の緩和の研究が望まれる。また、空間2次元問題の解で対称性をもつものに対しても、分離問題の数値実験を試みたが、理論的な結果は、今後の課題として残された。

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Grant amount：\4300000 （ Direct Cost: \4300000 ）

まず第1に、KdV方程式に2階と4階の空間微分作用素の散逸摂動を持つ典型的なモデル方程式として、傾斜面上を流れる液膜流を記述する方程式として知られるベニー方程式の解構造を調べたことである。特に摂動が小さいときに、力学系理論によってパルス進行波解を構成し、KdV方程式のソリトン解との比較を計算機解析及び(非線形非平衡系に対して用いられている)フエーズ・ダイナミクス法を用いて行なった。得られた結果は、KdV方程式には1-自由度を持つパルス、周期進行波解が存在するが、ベニー方程式は一意的にパルス、周期進行波解が選択されたことである。この解の安定性はこれまで知られていなかったが、線型化安定性解析によってこの問題を解決した。第2に、摂動が大きい場合のベニー方程式の解挙動である。この場合には摂動の強さを大きくすると分岐現象が起こり、非常に複雑な解構造が現われることが物理的説明から知られている。しかしながらその理論解析は現在の所非常に難しく、我々は計算機シミュレーション法に頼ることにし、スペクトル法、擬スペクトル法のパッケージを作り,今回購入したワークステーションを解構造追跡ソルバーとした。解構造を調べるには多大な計算とそのデータの可視化という問題が生じるが、これまで代表者が反応拡散方程式系に対しておこなってきた経験と実績がこれを可能にした。更にこの方法を、生物の集合形成を記述するある摂動を受けた保存系方程式に対して適用することにし、平衡解、パルス進行波解などの安定性を考察することもできた。これらの結果は非線形非平衡摂動を受けた可積分系、保存系の解析の上で重要な結果を与えるものと思われる。

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Grant amount：\2100000 （ Direct Cost: \2100000 ）

1.軸対称問題の有限要素解析
問題が軸対称である状況の下では円筒座標系を導入することにより3次元問題が2次元化され計算量が格段に軽減する.しかしながら,元の問題にはなかった軸上での特異性が生じる.軸対称流れ問題に代表される鞍点型変分問題に対して,重み付き関数空間で近似問題の誤差評価を与えた.要素の選択には,従来の下限上限条件を尊重する混合型有限要素近似とその条件を必要としない安定化有限要素近似の双方に対して結果が成立する.後者の場合には,軸付近での要素分割にある種の対称性条件を付加することが必要であり,この条件の下で収束性を証明することができる.この方法を用いて球回りの流れの精確な抗力値を現在計算中である.角度方向の展開を考えれば,必ずしも軸対称でない解への解法の発展を考えるときにも,この解析は有用である.
2.Navier-Stokes方程式の有限要素解析
非圧縮粘性流体の運動を記述するNavier-Stokes方程式は,航空機,船舶,自動車,建築物などに関連する流体現象を解析する現実的な要請があり,その数値解析に対する期待は非常に大きい.現実に現れる流れ問題は高Reynlds数であり,拡散現象よりも移流現象が支配的になる.我々は近年,移流項高精度近似の風上型有限要素解法を開発した(M.Tabata and S.Fujima,International Journal for Numerical Methods in Fluids,12:305--322,1991)が,今回は,この解法を3次元問題へ拡張しその安定性を考察し,かつ,ベクトル計算機に対応する計算スキームの高性能化を行った.この結果,計算に必要となる記憶容量が大きく減少すると同時にベクトル計算機上での計算速度も向上し,この手法の現実問題への適用範囲が広がった.

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Grant amount：\900000 （ Direct Cost: \900000 ）

散逸や不安定性の効果を持つ非線形波動方程式で知られるBenney方程式について昨年度に続いて更なる解析を行った。KdV方程式の摂動として捉えてKdVでは無数にあるソリトン解やcnoidal波解のうちそれぞれひとつの振幅・速度のもののみ選択されてBenney方程式の解になり得ることが昨年度明かにされたことである。
そこでそれらの解の安定性を調べることが今年度の課題であった。まず周期境界条件で有限区間の問題として捉えると区間の長さに応じて高々有限個の進行波が存在するが、数値計算によりモード数の低い解は不安定になることが示唆された。これはBenney方程式が元来持っている低波数モードの波を増長するという不安定性に起因することであり、現在数学的に解析中である。
逆にモード数の高い解は数値的には安定であることがわかった。区間の長さをパラメーターとしたときある長さの整数倍のところでHoph分岐として各モードの解が出現するがこれらは1モードを除いて不安定である。そこでこれの2次分岐を追跡するのもこれからの課題である。
また無限区間での進行波解の安定性についてはまだ手かかりがつかめたばかりだが、KdV方程式の安定性を扱った結果を応用して2-timing法的に扱える可能性がでてきた。これについては横浜市立大学の栄伸一郎と現在共同研究中である。
上記数値的安定性不安定性について平成5年12月の応用数学合同研究集会にて発表を行った。またその不安定性の数学的解析結果を平成6年4月の日本数学会にて発表予定である。

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