担当区分：研究代表者  資金種別：競争的資金

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配分額：2600000円 （ 直接経費：2600000円 ）

微分幾何、代数幾何における種々のモジュライ空間の幾何を調べることは興味ある問題と思われる。これらの多くはシンプレクティック商、あるいは超ケーラー商として構成されるので、それらの幾何を調べることが重要になってくる。実際、シンプレクティック商のトポロジーに関しては、ここ20年ほど、同変コホモロジー論やモース理論が応用され、多くのことがわかってきた。一方、超ケーラー商に関してはあまり多くのことはわかっていない。そこで、超ケーラー商のトポロジーを中心に研究した。
超ケーラー商は、ある意味で、3重にシンプレクティック商をとったものなので、そのトポロジーはシンプレクティック商のトポロジーより複雑になると考えられる。ところが、可換群による超ケーラー商さらにはある特別な非可換群による超ケーラー商のコホモロジー環を調べたところ、通常のシンプレクティック商の場合より単純な構造を持っていた。そこで我々はこの事実の理由を追求することにより、超ケーラー商のコホモロジー環の構造に関する予想を定式化することができた。そして、この予想は一般には予想が成立しないが、あるクラスの超ケーラー商に対しては有効らしいことが明らかになりつつある。さらに超ケーラー商の複素構造の変形に対する、複素ラグランジュ部分多様体のふるまいに関する研究をはじめた現象の抽象的な枠組みでの記述とそれが生じる理由の説明が目標である。

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配分額：8100000円 （ 直接経費：8100000円 ）

1 本研究の主目的は,K理論版Seiberg-Witten理論の展開と応用であった.
(1)亀谷,古田は,安定ホモトピー版Seiberg-Witten不変量から情報を引き出す手段としてK理論より精緻な方(Pin構造の拡張および,e-不変量の拡張)を開拓した.応用として$b_1=4$のおよびある条件のもので,11/8不等式より真に強い不等式が満たされることを証明した.
(2)南は,安定ホモトピー版Seiberg-Witten不変量の考察のため,「G-join定理」を証明し,応用として,4次元スピン閉多様体に対する10/8不等式が改良されることを示した.同様の評価は,(1)の方法でも得られる.
(3)上,古田は,ODの福本善洋と共同で,K理論版Seiberg-Witten理論の3次元トポロジーの応用を推し進め,彼等の定義したw不変量の「相互律」等の性質を明かにし,Seifert-fibered homology 3-sphereへの応用を得た.
(4)今野は超ケーラー商のコホモロジー環の興味深い例として,多角形のモジュライ空間と関連する場合をパラメータ付で考察した.
(5)小谷は結晶格子上の作用素であった連続極限で磁場つきシュレーディンガー方程式に収束する作用素について,中心極限定理を得た.
2 当研究の分担者が主なメンバーである研究会における議論には次のようなものがあった.
(1)望月はr-spin構造に関して,moduli spaceのtop Chern classの性質を明かにした彼自身の研究を紹介た.それと関連して,古田は安定ホモトピー版SW不変量の類似の構成の可能性が2次元で可能であることを指摘した.詳細は今後の研究に待たれる.
(2)森下昌紀氏(金沢大学)を招いて数論と3次元トポロジーとの類似に関する森下氏のperspectiveを紹介してもらった.それと関連して,Mazurの昔の仕事が,一般の結び目とfibered knotの補空間の基本群がある種の完備化のもとで類似した性質を持つことについて議論がなされた.

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配分額：3100000円 （ 直接経費：3100000円 ）

研究代表者の落合は、3次元ユークッリド空間内の閉じた曲面が共形不変性を持つ幾何学的変分問題(平成10年度に研究)の解であり、かつ群の作用を許す場合の研究を常微分方程式の分岐理論の立場から研究した。結果として、球面から変形してゆき、分岐する例を構成できた。
研究分担者の今野は、今年度は非可換群による超ケーラー商の研究を始めた。手始めとして、最も単純と思われる具体例を考察した。すなわち、複素直線の余接空間には、超ケーラー構造が入ることが知られているが、その直積のSO(3)による超ケーラー商のコホモロジー環を決定した。この空間は、複素直線の直積のSO(3)によるシンプレクテイック商(多角形のモジュライ空間とよばれる。)を半分次元の部分多様体として含んでいるが、可換群の場合と同様に、コホモロジー環は、超ケーラー商の方がより単純であった。さらに多角形のモジュライ空間はあるパラメータをもっていて、そのパラメータに応じてトポロジーが変化するが、超ケーラー商の部分空間として見ると、その変化の様子が大域的に記述される
研究分担者の藤岡はこれまでの研究から続くような形で,可積分系理論的なアプローチから曲面の微分幾何についての研究を行った.ユークリッド空間内の平均曲率一定曲面(CMC surfaceと略す)は,平均曲率が0でない場合,古くから可積分系理論の分野で知られているsine-Gordon方程式として記述される.ユークリッド空間内のCMC surfaceの自然な一般化としてBonnet曲面(局所的に非自明に等長的に変形できる曲面)やharmonic inverse mean curvature surface(平均曲率の逆数が調和関数となる曲面,以下,HIMC surfaceと略す)とよばれるものが定義される.これらの曲面族は曲率線に沿った等温座標系がとれる,isothermicとよばれる条件の下で,Hazzidakis方程式とよばれる常微分方程式によって記述されるが,この方程式は可積分系理論の分野で良く知られているPainleve方程式として記述されることが最近になってBobenko-Eitnerにより示された.Bonnet曲面やHIMC surfaceは定値計量とは限らない3次元空間形内の曲面に対しても定義される.そこで,不定値計量をもつ3次元空間形内の時間的なHIMC曲面について考察し,それに対するLax方程式やその解から曲面をあたえる公式である,immersion formulaを求めるといった,定値計量をもつ空間形内のHIMC surfaceと同様の性質について調べる他,時間的な曲面特有の現象についても調べた.

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担当区分：研究代表者  資金種別：競争的資金

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配分額：2900000円 （ 直接経費：2900000円 ）

当研究の目的は、代数幾何学的方法によって2次元共形場理論を4次元へ拡張する数学的理論を構成する事であったが、我々は、特にその良いモデルとして4次元Wess-Zumino-Witten理論と呼ばれる物理理論を考察した。研究の最大の成果は、そこに現れる共形ブロックの空間を数学的に厳密に定式化し、Hirzebruch曲面の場合にはそれらの次元を計算する事に成功した事である。この結果は、代数曲面上の安定ベクトル束の成すモジュライ空間を半安定層によってコンパクト化してその上に行列式直線束を構成する、という方法によって得られた。共形ブロックの空間と表現論との関係を解明する事は残念ながら十分には出来なかったが、研究の過程に於いて以下に述べる様に大きく分けて二種類の成果を更に得る事が出来た。
第一の種類の成果は、代数曲面上の安定層の存在とそれらのモジュライ空間の幾何に関するものである。我々は、次数1の安定ベクトル束の概念を導入し、正則曲面の場合にそれらが存在する為の十分条件とモジュライ空間の双有理型を決定した。又、ベクトル束の変形理論を使ってK3曲面上の第一チャーン類0の安定束に関しても存在定理を証明し、これを基に弦理論に於けるT-双対性が反射関手として実現される事を明らかにした。
第二に、高次元代数多様体上のベクトル束に関しても幾つかの結果を得た。まず、正標数の体上定義された多様体上の安定束に対し、制限の下で安定性が保たれる様な因子に対してその次数の下限の評価を得た。この結果から、高次元多様体上の安定層のモジュライは制限写像によって因子上の安定層のモジュライに埋め込む事が可能である事が導かれた。又、我々は曲線上のファイバー構造を持つ高次元代数多様体上の安定束の幾何学を研究し、モジュライの量子コホモロジーが曲線との直積多様体のGromov-Witten不変量と本質的には一致する事を証明した。

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配分額：900000円 （ 直接経費：900000円 ）

今年度の研究課題は大きく分けて2つあったが、それぞれに対して、基礎的な部分に関してまずまずの成果が得られた。
一つはSeiberg-Witten不変量の研究であった。これに関しては、次のような成果が得られた。なめらかなコンパクト4次元多様体の不変量であるSeiberg-Witten不変量を2つの境界付き4次元多様体に分解して、それぞれの境界付き4次元多様体の不変量から、もとの4次元多様体の不変量を計算する方法を研究した。これはDonaldson理論におけるFloer理論のSeiberg-Witten理論におけるアナロジーである。すなわちDonaldson理論のときと、どこが同じようにできて、どこが簡単、あるいはむずかしくなるか、をはっきりさせた。そして、いくつかの細かい問題を残して、全体像をつかむことができた。この成果は'複素幾何学ワークショップ'(96年1月、都立大学にて)、研究会'幾何学に現れる非線形方程式'(96年2月、東北大学にて)において発表した。
もう一つは幾何学的量子化における実偏極とKaehler偏極を概念的に結び付ける(これによって新しいタイプの局所化定理が得られる。)ことであるが、これに関しては、いくつかの例で確かめることができた。特にデータ関数についてKaehler偏極を退化させていった時の挙動を詳しく調べることができた。この事実を抽象化して、より一般の場合に定式化したいのであるが、それの関しては今後の課題として残った。

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配分額：2400000円 （ 直接経費：2400000円 ）

階数2のリーマン面上の安定ベクトル束の同値類のなすモジュライ空間上の、正則直線束の切断の基底を、Qullen行列式を用いて具体的に構成することに成功した。これは数年来研究を続けてきた課題であるが、Qullen行列式を境界値問題に適用する着想により解決できた。この構成法はさらにSU(2)共形場理論をアーベル化することにも役立った。具体的にはSU(2)ベクトル束のモジュール空間上に(P^1)^<3g-3>×(C^*)^<3g-3>という別の複素解析空間をとり、SU(2)ベクトル束のモジュライ空間上の直線束の引きもどしを考えることにより、階数2データ関数を通常の階数1データ関数によって表示することができた。これらを用いると、3次元多様体のChern-Simons不変量の階数2データ関数による定義が可能となる。このことは同不変量の幾何学的意味づけの解明に大変役に立つと考えられる。

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配分額：900000円 （ 直接経費：900000円 ）

今年度の研究課題は、リーマン面上のベクトル束のモジュライ空間上のシンプレクティック幾何学を、場の理論から示唆される事実を指導原理とすることにより、研究してゆく、というものであった。そして実際にWess-Zumino-Witten模型(以下WZW模型)と呼ばれる共形場理論と、リーマン面上のベクトル束のモジュライ空間との関係を研究し、以下の成果を得た。
WZW模型は、近年アフィンリー環の表現論等を用いることによって、数学的に厳密に構成されていた。すなわち、その代数的、表現論的構造は明らかになっていたが、幾何学的構造は見えにくいものとなっていた。そこでWZW模型をループ群のシンプレティック幾何の立場から再構成した。もう少し詳しく述べると、WZW模型の汎関数積分の形から、理論のヒルベルト空間が、ループ群の幾何学的量子化として得られることを導いた。次に理論のゲージ対称性を幾何学的に記述し、conformal blockの空間の幾何学的な意味を明らかにすることができた。その結果、conformal blockの空間とリーマン面上のパラボリックベクトル束のモジュライ空間の幾何学的量子化との関係が、明確に見えるようになった。
現在、一般のトーラス作用のあるシンプレクティック多様体の幾何学的量子化の研究が進行中である。その特別な場合としてconformal blockの空間の次元公式であるVerlindeの公式をシンプレクティック幾何の立場から意味付けることが可能になる。

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配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

リーマン面から対称空間への調和写像の研究に関しては、リーマン球面からの調和写像の空間の位相構造に関しては、まだまだ明らかにされていない問題も多いが、連結性・基本群に関する今までの結果を、より一般のコンパクト対称空間のあるクラスに拡張することができた。この結果は、国内のいくつかの研究会・シンポジウムとイギリスでの国際シンポジウムで発表し大変興味をもたれ、現在、大仁田は、M.A.Guest氏、向井との共同研究として論文を準備中である。今後の発展も期待されている。
可積分系(ソリトン方程式)の理論の調和写像、曲面論などの微分幾何学への応用に関する進展はイギリス・アメリカ・ドイツなどの研究者により次々現れており、われわれともかなり競争的な様相にある。前田氏・榎本氏の専門的知識の提供による研究協力もあり、荻上らの部分多様体の研究においても新しい結果が得られつつある。
井関は、多様体の共形構造を研究しているが、リーマン面のモジュライ空間であるタイヒュミラー空間の高次元版と考えて、共形的に平坦な構造のモジュライ空間に完備な距離を導入するという画期的な研究に成功した。
今井は、自身が開発した結び目のエネルギー汎関数のグラジエントを計算し、さらに研究を進展させている。
吉田・今野は、ゲージ理論的方法を用いて、symplectic幾何学、位相的場の理論などに大きな貢献をしている。特に、擬正則曲線のモジュライ空間の理論は、調和写像論およびその応用の立場から興味ある研究課題を提供するものである。
長友氏は、四元数ケーラー多様体上のヤン・ミルズ接続のゲージ理論で新しい展開を与えている。

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配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

吉田はリーマン面上のrank 2安定ベクトル束のModul 空間の正則曲線の族が多様体をなすことを証明し、Instanton ホモロシ-との関連を調べた。今のは安定パラホリック ベクトル束の Modul 空間上の直線束を構成し、共形場理論のいくつかの主要定理の幾何学的証明を与えた。今井はknotのエネルギー汎関数の極値性、有限性についての基本的な結果を得た。寺杣は常微分方程式から生ずる周期積分について積公式を証明した。笹倉は、射影空間上のrank 2 replexive sheafを数論的な方法で構成しその研究を進めている。
国内の多くのゲージ理論研究者との研究連絡、討論を行った。とくに高田(九大)、神島(熊本大)の両氏を招聘し、研究成果についての討論を持ったことは有意義であった。

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