Authorship：Principal investigator  Grant type：Competitive

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Grant amount：\2600000 （ Direct Cost: \2600000 ）

微分幾何、代数幾何における種々のモジュライ空間の幾何を調べることは興味ある問題と思われる。これらの多くはシンプレクティック商、あるいは超ケーラー商として構成されるので、それらの幾何を調べることが重要になってくる。実際、シンプレクティック商のトポロジーに関しては、ここ20年ほど、同変コホモロジー論やモース理論が応用され、多くのことがわかってきた。一方、超ケーラー商に関してはあまり多くのことはわかっていない。そこで、超ケーラー商のトポロジーを中心に研究した。
超ケーラー商は、ある意味で、3重にシンプレクティック商をとったものなので、そのトポロジーはシンプレクティック商のトポロジーより複雑になると考えられる。ところが、可換群による超ケーラー商さらにはある特別な非可換群による超ケーラー商のコホモロジー環を調べたところ、通常のシンプレクティック商の場合より単純な構造を持っていた。そこで我々はこの事実の理由を追求することにより、超ケーラー商のコホモロジー環の構造に関する予想を定式化することができた。そして、この予想は一般には予想が成立しないが、あるクラスの超ケーラー商に対しては有効らしいことが明らかになりつつある。さらに超ケーラー商の複素構造の変形に対する、複素ラグランジュ部分多様体のふるまいに関する研究をはじめた現象の抽象的な枠組みでの記述とそれが生じる理由の説明が目標である。

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Grant amount：\8100000 （ Direct Cost: \8100000 ）

1 The main purpose of the present research is to develope K-theoretical aspect of Seiberg-Witten theory.
(1) Kametani and Furuta extended the notions of Pin structures and e-invariants to obtain an application to the stable-homotopy Seiberg-Witten invariants. They actually showed an inequality stronger than the 11/8-inequality under some condition on the cup product on H^1.
(2) Minami showed "G-join theorem" and apply it to the stable-homotopy Seiberg-Witten invariants and improved the 10/8-theorem for spin 4-manifolds.
(3) Ue, Furuta and Y.Fukumoto investigated properties of of the w-invariant, which they defined, and obtained some applications to Seiberg-fibered homology 3-spheres.
(4) Konnno calculated the cohomology ring of the moduli spaces of polygons as examples of hyper-kahler quotients.
(5) Kotani obtained a central limit theorem for magnetic transition operators on a crystal lattice.
2 The main members of the present research regularly attended a series of conferences to discuss the following topics.
(1) Mochizuki explained his work on r-spin structure. Furuta pointed out a possibility of a construction in 2-dimensional topology which is parallel to the stable homotopy version of the Seiberg-Witten invariants.
(2) M.Morishita (Univ. Kanazawa) was invited to explain his idea about a similarity between number theory and 3-dimensional topology. We discussed Mazur's unpublished work on a similarity between general knots and fibered knots when the fundamental groups of the knot complements are completed in some way.

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Grant amount：\3100000 （ Direct Cost: \3100000 ）

研究代表者の落合は、3次元ユークッリド空間内の閉じた曲面が共形不変性を持つ幾何学的変分問題(平成10年度に研究)の解であり、かつ群の作用を許す場合の研究を常微分方程式の分岐理論の立場から研究した。結果として、球面から変形してゆき、分岐する例を構成できた。
研究分担者の今野は、今年度は非可換群による超ケーラー商の研究を始めた。手始めとして、最も単純と思われる具体例を考察した。すなわち、複素直線の余接空間には、超ケーラー構造が入ることが知られているが、その直積のSO(3)による超ケーラー商のコホモロジー環を決定した。この空間は、複素直線の直積のSO(3)によるシンプレクテイック商(多角形のモジュライ空間とよばれる。)を半分次元の部分多様体として含んでいるが、可換群の場合と同様に、コホモロジー環は、超ケーラー商の方がより単純であった。さらに多角形のモジュライ空間はあるパラメータをもっていて、そのパラメータに応じてトポロジーが変化するが、超ケーラー商の部分空間として見ると、その変化の様子が大域的に記述される
研究分担者の藤岡はこれまでの研究から続くような形で,可積分系理論的なアプローチから曲面の微分幾何についての研究を行った.ユークリッド空間内の平均曲率一定曲面(CMC surfaceと略す)は,平均曲率が0でない場合,古くから可積分系理論の分野で知られているsine-Gordon方程式として記述される.ユークリッド空間内のCMC surfaceの自然な一般化としてBonnet曲面(局所的に非自明に等長的に変形できる曲面)やharmonic inverse mean curvature surface(平均曲率の逆数が調和関数となる曲面,以下,HIMC surfaceと略す)とよばれるものが定義される.これらの曲面族は曲率線に沿った等温座標系がとれる,isothermicとよばれる条件の下で,Hazzidakis方程式とよばれる常微分方程式によって記述されるが,この方程式は可積分系理論の分野で良く知られているPainleve方程式として記述されることが最近になってBobenko-Eitnerにより示された.Bonnet曲面やHIMC surfaceは定値計量とは限らない3次元空間形内の曲面に対しても定義される.そこで,不定値計量をもつ3次元空間形内の時間的なHIMC曲面について考察し,それに対するLax方程式やその解から曲面をあたえる公式である,immersion formulaを求めるといった,定値計量をもつ空間形内のHIMC surfaceと同様の性質について調べる他,時間的な曲面特有の現象についても調べた.

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Authorship：Principal investigator  Grant type：Competitive

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Grant amount：\2900000 （ Direct Cost: \2900000 ）

The purpose of the present research has been to establish a mathematical theory which extends the two dimensional conformal field theory to four dimension. We adopted as our model the four dimensional Wess-Zumino-Witten theory. The biggest results was that we gave a mathematically rigorous definition of the space of conformal blocks and computed their dimension in the case of Hirzebruh surfaces. It has been achieved by constructing the determinant line bundle on the Gieseker compactification of the moduli of stable bundles on an algebraic surface. The space of conformal blocks is defined to be the space of global section of the line bundle. Although the relation of the space with representation theory was not clarified sufficiently, in the course of our research we obtained several results which fall in two categories.
The first category concerns with the existence of stable sheaves and the geometry of their moduli spaces on an algebraic surface. We introduced the concept of stable bundles of degree one and in the case of regular surfaces determined the condition for their existence and the birational types of their moduli spaces. We also proved an existence theorem for stable bundles with the first Chern class zero (I.e. instantons) on a K3 surface by a deformation theoretic method. By the same method we clarified the relationship of Mukai's reflection functor and the T-duality of K3 surfaces which appears in string theory.
The second category treats vector bundles on higher dimensional varieties. For varieties defined over a field of positive characteristic, we obtained an effective lower bound for the degree of divisors for which the stability of a bundle is preserved under restriction. It follows that the restriction map induces an em bedding of the moduli of stable sheaves into the moduli of sheaves on a divisor. We also studied the geometry of stable bundles on varieties which has a fibration over a curve and proved that the quantum cohomology of their moduli spaces can be identified with the Gromov-Witten invariant of the product with a curve.

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Grant amount：\900000 （ Direct Cost: \900000 ）

今年度の研究課題は大きく分けて2つあったが、それぞれに対して、基礎的な部分に関してまずまずの成果が得られた。
一つはSeiberg-Witten不変量の研究であった。これに関しては、次のような成果が得られた。なめらかなコンパクト4次元多様体の不変量であるSeiberg-Witten不変量を2つの境界付き4次元多様体に分解して、それぞれの境界付き4次元多様体の不変量から、もとの4次元多様体の不変量を計算する方法を研究した。これはDonaldson理論におけるFloer理論のSeiberg-Witten理論におけるアナロジーである。すなわちDonaldson理論のときと、どこが同じようにできて、どこが簡単、あるいはむずかしくなるか、をはっきりさせた。そして、いくつかの細かい問題を残して、全体像をつかむことができた。この成果は'複素幾何学ワークショップ'(96年1月、都立大学にて)、研究会'幾何学に現れる非線形方程式'(96年2月、東北大学にて)において発表した。
もう一つは幾何学的量子化における実偏極とKaehler偏極を概念的に結び付ける(これによって新しいタイプの局所化定理が得られる。)ことであるが、これに関しては、いくつかの例で確かめることができた。特にデータ関数についてKaehler偏極を退化させていった時の挙動を詳しく調べることができた。この事実を抽象化して、より一般の場合に定式化したいのであるが、それの関しては今後の課題として残った。

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Grant amount：\2400000 （ Direct Cost: \2400000 ）

階数2のリーマン面上の安定ベクトル束の同値類のなすモジュライ空間上の、正則直線束の切断の基底を、Qullen行列式を用いて具体的に構成することに成功した。これは数年来研究を続けてきた課題であるが、Qullen行列式を境界値問題に適用する着想により解決できた。この構成法はさらにSU(2)共形場理論をアーベル化することにも役立った。具体的にはSU(2)ベクトル束のモジュール空間上に(P^1)^<3g-3>×(C^*)^<3g-3>という別の複素解析空間をとり、SU(2)ベクトル束のモジュライ空間上の直線束の引きもどしを考えることにより、階数2データ関数を通常の階数1データ関数によって表示することができた。これらを用いると、3次元多様体のChern-Simons不変量の階数2データ関数による定義が可能となる。このことは同不変量の幾何学的意味づけの解明に大変役に立つと考えられる。

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Grant amount：\900000 （ Direct Cost: \900000 ）

今年度の研究課題は、リーマン面上のベクトル束のモジュライ空間上のシンプレクティック幾何学を、場の理論から示唆される事実を指導原理とすることにより、研究してゆく、というものであった。そして実際にWess-Zumino-Witten模型(以下WZW模型)と呼ばれる共形場理論と、リーマン面上のベクトル束のモジュライ空間との関係を研究し、以下の成果を得た。
WZW模型は、近年アフィンリー環の表現論等を用いることによって、数学的に厳密に構成されていた。すなわち、その代数的、表現論的構造は明らかになっていたが、幾何学的構造は見えにくいものとなっていた。そこでWZW模型をループ群のシンプレティック幾何の立場から再構成した。もう少し詳しく述べると、WZW模型の汎関数積分の形から、理論のヒルベルト空間が、ループ群の幾何学的量子化として得られることを導いた。次に理論のゲージ対称性を幾何学的に記述し、conformal blockの空間の幾何学的な意味を明らかにすることができた。その結果、conformal blockの空間とリーマン面上のパラボリックベクトル束のモジュライ空間の幾何学的量子化との関係が、明確に見えるようになった。
現在、一般のトーラス作用のあるシンプレクティック多様体の幾何学的量子化の研究が進行中である。その特別な場合としてconformal blockの空間の次元公式であるVerlindeの公式をシンプレクティック幾何の立場から意味付けることが可能になる。

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Grant amount：\2100000 （ Direct Cost: \2100000 ）

リーマン面から対称空間への調和写像の研究に関しては、リーマン球面からの調和写像の空間の位相構造に関しては、まだまだ明らかにされていない問題も多いが、連結性・基本群に関する今までの結果を、より一般のコンパクト対称空間のあるクラスに拡張することができた。この結果は、国内のいくつかの研究会・シンポジウムとイギリスでの国際シンポジウムで発表し大変興味をもたれ、現在、大仁田は、M.A.Guest氏、向井との共同研究として論文を準備中である。今後の発展も期待されている。
可積分系(ソリトン方程式)の理論の調和写像、曲面論などの微分幾何学への応用に関する進展はイギリス・アメリカ・ドイツなどの研究者により次々現れており、われわれともかなり競争的な様相にある。前田氏・榎本氏の専門的知識の提供による研究協力もあり、荻上らの部分多様体の研究においても新しい結果が得られつつある。
井関は、多様体の共形構造を研究しているが、リーマン面のモジュライ空間であるタイヒュミラー空間の高次元版と考えて、共形的に平坦な構造のモジュライ空間に完備な距離を導入するという画期的な研究に成功した。
今井は、自身が開発した結び目のエネルギー汎関数のグラジエントを計算し、さらに研究を進展させている。
吉田・今野は、ゲージ理論的方法を用いて、symplectic幾何学、位相的場の理論などに大きな貢献をしている。特に、擬正則曲線のモジュライ空間の理論は、調和写像論およびその応用の立場から興味ある研究課題を提供するものである。
長友氏は、四元数ケーラー多様体上のヤン・ミルズ接続のゲージ理論で新しい展開を与えている。

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Grant amount：\2100000 （ Direct Cost: \2100000 ）

吉田はリーマン面上のrank 2安定ベクトル束のModul 空間の正則曲線の族が多様体をなすことを証明し、Instanton ホモロシ-との関連を調べた。今のは安定パラホリック ベクトル束の Modul 空間上の直線束を構成し、共形場理論のいくつかの主要定理の幾何学的証明を与えた。今井はknotのエネルギー汎関数の極値性、有限性についての基本的な結果を得た。寺杣は常微分方程式から生ずる周期積分について積公式を証明した。笹倉は、射影空間上のrank 2 replexive sheafを数論的な方法で構成しその研究を進めている。
国内の多くのゲージ理論研究者との研究連絡、討論を行った。とくに高田(九大)、神島(熊本大)の両氏を招聘し、研究成果についての討論を持ったことは有意義であった。

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