配分額：5070000円 （ 直接経費：3900000円 、 間接経費：1170000円 ）

球面から球面への極小部分多様体のモジュライ空間を記述するDo Carmo-Wallach理論の代表者による一般化を、写像のゲージ同値関係という概念を定義することにより、さらに精密化することに成功した。これにより、先行結果の別証明が与えられるだけではなく、複素射影直線から複素2次超曲面への正則等長写像の2種類のモジュライ空間を得ることができた。さらに射影的平坦写像を定義し、その性質を考察した。
また、ベクトル束の切断から誘導される対称空間上の等径超曲面の部分多様体としての不変量をベクトル束の接続に関する不変量と結びつけることにより、等径超曲面の主曲率を求めることに成功した。

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配分額：4420000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：1020000円 ）

グラスマン多様体への調和写像の線型方程式による特徴づけを利用して、対称空間上に等径関数を構成し、さらにラドン変換により、それら等径関数が球面上の等径関数に変換されることを示した。また、複素射影空間から複素射影空間への定エネルギー密度関数をもつ調和写像のモジュライ空間を線形代数的データを用いて記述した。最後に、エルミート対称空間から複素グラスマン多様体への正則写像に関しても同様の結果を得ることができた。

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配分額：27560000円 （ 直接経費：21200000円 、 間接経費：6360000円 ）

等径超曲面の分類問題の大部分を解決し,運動量写像で表現することにより,可積分系理論との関連性を根拠づけた.特異点をもつ曲面の基礎理論を進展させ,種々の局所・大域理論を明らかにし,ルジャンドル写像を用いた新しい視点を開発した.リーマン・ヒルベルト対応を介してパンルヴェ方程式の力学系を研究し,カオス性の観点を開拓した.高種数Gromov-Witten理論のモジュラー性,ミラー対称性を論じ,また量子コホモロジーから得られる正則微分をポテンシャルにもつ曲面の構成を通じて,tt*幾何に貢献した.

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資金種別：競争的資金

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配分額：8740000円 （ 直接経費：7300000円 、 間接経費：1440000円 ）

自然な仮定のもとで特異点をもつ曲面のクラスの性質を,ワイエルストラス型表現公式を用いてしらべた.とくに,3次元双曲空間の平坦フロントの大域的な挙動,3次元ミンコフスキー空間の極大曲面および3次元ド・ジッター曲面の平均曲率1の曲面の特異点の挙動を解析した.また,特異点の微分幾何学として,とくにフロント(波面)の特異点に特異曲率を定義し,ガウス・ボンネ型の定理を得るとともに,フロントの内的な定式化を行った.

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配分額：6490000円 （ 直接経費：5800000円 、 間接経費：690000円 ）

2005年度はモジュライ空間のコンパクト化に焦点をあて、特異点集合として現れる部分多様体に注目した。高次元ASD方程式の線形化であるツイスター切断の零点集合として得られる部分多様体がそれである。さらに、ツイスター切断を使用した実グラスマン多様体への埋め込みを構成し、この埋め込みが極小埋め込みであることを示した。また、四元数ケーラー多様体上のASDベクトル束に対する消滅定理も得られた。
2006年度は本研究課題にとって本質的な進展といえる調和写像とYang-Mills接続とを関連付けることに成功した。リーマン多様体からグラスマン多様体への写像が調和写像となるための条件を得た。さらに、この定理を利用して、等質空間からグラスマン多様体へのエネルギー密度関数が定数関数となる調和写像の分類が得られた。また、実グラスマン多様体上において、ある位相的条件をみたすベクトル束が許容するASD接続がゲージ変換を除いて一意的であることを示すことができた。
2007年度はさらに上の写像が全測地的部分多様体となる場合を考察し、、既約型の全測地的写像に関しての分類定理を得た。この定理において、ある積分公式を確立したが、その値は終集合であるグラスマン多様体の次元を決定するものである。特に複素射影直線に関しては非分解型の全測地的写像が既約型であることを上述した定理と球関数の理論のベクトル束版を構築することにより示すことができたので、複素射影直線の場合には全測地的部分多様体が決定できたことになる。また、「ツイスター切断の幾何学」の類似をコンパクト対称空間上でも展開し、ほとんどのコンパクト型の既約対称空間において、全測地的部分多様体の組を発見した。この組はベクトル束の切断と深く関係し、これらを用いてある関数を構成し、グラスマン多様体上ではこの関数が等径関数となっていることを示した。さらに、この関数が部分多様体の族を与えるが、このうち唯一つの部分多様体が極小部分多様体であることを示すことにも成功した。

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配分額：34970000円 （ 直接経費：26900000円 、 間接経費：8070000円 ）

宮岡は等径超曲面のDorfmeister-Neherの分類定理の別証明を与え,超曲面論の応用としては複素射影平面の反自己双対束や完備Austere部分多様体の位相の解明,リッチ平坦計量,special Lagrangian部分多様体の構成を行い,またG_2軌道の幾何からtwister fibrationを得た.岩崎はパンルヴェ第VI方程式の代数幾何学的定式化と代数曲面上の双有理写像のエルゴード理論をリーマン・ヒルベルト対応により結びつけ,非線形モノドロミーのカオス性を示した.梶原は,パンルヴェ系の理論的定式化を応用して,q-パンルヴェ系の超幾何解とそのdeterminant formulaを構成し,補助線形問題の解と関連づけた,中屋敷はシグマ関数のべき級数展開の係数を、代数曲線の定義方程式の係数で特徴づけた。長友は,調和写像とYang-Mills接続とを関連付ける本質的な結果を得て,高橋の定理,de Carmo-Wallachの定理の一般化,四元数ケーラー多様体からグラスマン多様体への調和写像の構成などの結果を得た.山田,梅原,ラスマンは,3次元双曲空間の(弱)完備平坦フロントのエンドの挙動を分類した.藤岡は曲率の時間発展がBurgers方程式に従い離散化を伴う複素双曲線内の曲線の運動の可積分性、周期性を調べた。石川は非固有アフィン曲面やガウス曲率一定曲面の特異点と,双対曲面の特異点の組を分類し,また平面曲線とそのルジャンドル曲線の特異点のモジュライの関係を解明した.宇田川は実空間形内の平均曲率ベクトル平行なコンパクト等方的部分多様体を断面曲率で分類した.田丸は非コンパクト型対称空間内の等質超曲面に対応する非等方性1作用に関して,固定点定理を得た.松浦は差分KdV方程式に従う平面折線の離散時間発展を主に周期性の観点から調べた。池田はWhittaker加群の特性多様体とフルコスタントー戸田格子の等エネルギー面の幾何学との関連を超局所解析の視点から考察した。Guestは調和写像論,量子コホモロジー論,ミラー対称性の研究を行い,ホモロジー幾何紹介論文を著わした.二木はある種のトーリック佐々木多様体には佐々木・アインシュタイン計量が存在することを証明し,toric Fano多様体の標準直線束には完備Ricci平坦計量が入ることを証明した.

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配分額：9200000円 （ 直接経費：9200000円 ）

(1)双曲型空間の平坦な曲面に対して知られているワイエルストラス型表現公式を,積分(微分方程式の解)を用いない形のダルブー型の公式に書き換え,応用としてエンドの数が小さい完備平坦曲面の分類を行った.(2)双曲型空間の平均曲率1をもつ曲面に対するワイエルストラスがた表現公式の類似が成り立つようなambient spaceと曲面のクラスを指摘した.(3)一般にfront, frontalとよばれる,特異点をもつ曲面のクラスにgenericに現れる特異点(cuspidal edges, swallowtails, cuspidal cross caps)を判定する条件を見出した.(4)双曲型空間内の特異点をもつ平坦曲面(平坦フロント)の概念を整備し,ワイエルストラス型表現公式を用いて,特異点の性質を調べた.(5)3次元ミンコフスキー空間の特異点をもつ極大曲面のよいクラス(極大面)を定義し,その大域的な性質,特異点の性質を調べた.

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配分額：3900000円 （ 直接経費：3900000円 ）

本研究においては、モジュライ空間の性質を解明するために以下の研究を行った。
以前の研究において、コンパクトリー群の表現論を用いることにより、4次元幾何学における成果を別の角度から見直し、高次元のコンパクトリー群に付随した四元数対称空間に対して、「ASD接続の族」を構成することに成功していたが、次元簡約の方法を用いることにより、これらの間に次元を超えた関係のあることがわかった。この方法はASD接続を許容するベクトル束の新しい発見法を示唆するものとして期待される。また、上記「ASD接続の族」が完備であるかどうかはそのコンパクト化を考察する上でも重要な謎であったが、これに対してもツイスター方程式を満たす切断「ツイスター切断」の理論を構築することにより、さまざまな場合に肯定的な解答を得ることに成功した。これはツイスター切断がツイスター空間上では正則切断に対応し、その結果、ホモロジー代数的手法を適用することが可能となったことによる。また、ツイスター切断の理論を四元数対称空間上の等質ベクトル束において展開することにより、「単連結コンパクトリー群の実表現の内で、主固定部分群が非自明であり、かつそれが可換群でも離散群でもない表現と横断的ツイスター切断の零点集合として得られるコンパクト四元数対称空間内の四元数部分多様体の同型類との間に一対一対応が存在する」という結果を得ることにも成功した。さらにツイスター切断の理論を用いることにより、モジュライ空間のコンパクト化において重要な役割を果たすと予想される特異集合をもつ特異ASD接続とこの接続を許容するベクトル束との間に関連のあることも示すことができた。すなわち、「特異ASD接続の特異集合が代表するホモロジー類のポアンカレ双対がベクトル束の特性類である」という事実を多くの場合において示すことに成功した。また、上記においてホモロジー代数的手法に言及したが、高次元においては考察すべき層コホモロジーが飛躍的に増大し、しばしば扱いきれないことがあるが、以前得られていた層コホモロジーに対する消滅定理を再考し、その一般化にも成功した。この一般化された「消滅定理」はこの方面では最終形のものである。この一般化された消滅定理とツイスター切断の理論を組み合わせて用いることにより、さらなるASD接続のモジュライ空間の構成にも成功した。これら高次元インスタントンモジュライ空間の具体例の組織的な構成は現在までのところ本研究のみであると思われる。

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配分額：2800000円 （ 直接経費：2800000円 ）

数年来取り組んでいた,重複度2の主曲率を6つもつ等径超曲面の等質性を証明した.
あわせて重複度1の場合のDorfmeister-Neherの定理の別証を統一的に得た.
結果として得られる等質超曲面を考察することにより次のことも判明した.
重複度1の場合に得ていた結果と同様,重複度2の場合にも主曲率が6つの超曲面は主曲率が3つの超曲面上の全測地的球面をファイバーとするファイバー空間になっていることが分かった.ただしファイバー球面の次元は前者の2倍の6次元となる.これは以前に石川-木村と共に行ったガウス写像が退化する部分多様体の研究結果の拡張になっている.また,等径超曲面が外の球面を埋め尽くすことを用いると,13次元球面と7次元球面の間のある関係を導く.さらにこの超曲面が例外群G_2軌道として現れることを用いると,ホロノミー群がG_2の完備計量をもつ開多様体の例としてS^7-CP^2が得られることがわかる.これより,Calabi予想の実,開多様体版ともいえる,リッチ正のコンパクトリーマン多様体からどのような部分を除けば,ホロノミー群がG_2の完備計量が入るかという問題に発展する.このようにG_2軌道として得られるこの超曲面の挙動は非常に重要で興味深い.

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配分額：8000000円 （ 直接経費：8000000円 ）

本研究課題は、研究期間を活発な研究活動が行なわれ、次のような有益な研究成果が得られている。今後のさらなる研究の発展が期待される。
大仁田と宇田川の有限型の調和写像に関する共同研究論文は、第9回日本数学会国際研究集会のproceedingsに出版された。異なるk-対称空間に附随したtwistedループ代数同士の同型問題にも関わることが明らかになり、更に進展が期待される。大仁田は、対称空間への多重調和写像を可積分系の観点から議論しDPW公式を示した。James Eells教授と調和写像の空間の構造に関する共同研究では、実解析的なコンパクト・リーマン多様体の間の調和写像の空間は実解析空間であるという定理の正確な証明から出発して議論を行っている。大仁田は、極小部分多様体の新しい理論の一つという観点に立って、アインシュタイン・ケーラー多様体のラグランジュ部分多様体のハミルトン安定性問題を研究している。リー理論的な方法によって、複素射影空間の極小な既約対称ラグランジュ部分多様体はハミルトン安定を示した。さらに、複素ユークリッド空間内に埋め込まれた対称ラグランジュ部分多様体もまたハミルトン安定になることを証明した。また、ラグランジュ多様体と運動量写像との関係も議論している。従来、複素射影空間および複素ユークリッド空間内の安定なラグランジュ部分多様体は、実射影部分空間やクリフォード・トーラスしか知られていなかったが、第$2$基本形式が平行なラグランジュ部分多様体、対称ラグランジュ部分多様体、のクラスにおいて、安定なラグランジュ部分多様体の新しい例を豊富に与えた。
対称空間内の部分多様体の無限次元的方法の研究やヒルベルト空間内の無限次元フレッドホルム部分多様体のk研究に関しては、小池はコンパクト型対称空間内の等焦点部分多様体とヒルベルト空間内の等径部分多様体の間の理論を基に、非コンパクト型対称空間に対する類似の理論を展開することを研究した。これは、Terng-Thorbergssonによって提起された問題に解答するものである。
研究期間を通じて、海外で研究発表講演、共同研究や外国人研究者を招聘しての国際研究集会が活発に行えわれた。

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配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

本年度は、昨年度に得られたツイスター方程式と四元数部分多様体との関係についての結果を四元数対称空間上のベクトル束に適用することにより、ほとんどすべての四元数対称空間内の四元数部分多様体がツイスター切断の零点として実現できることを示すことに成功した。キーポイントは、等質ベクトル束の一般的なツイスター切断が零切断と横断的に交わることを統一的に導く方法を確立したこと、および昨年度の結果とBott-Borel-Weil理論を組み合わせることにより、ツイスター切断の零点集合の連結性を示せたということである。
この結果はモジュライ空間についての考察に次の2点で関連してくる。
1.リー群Spin(7),G_2型の四元数対称空間において、G_2,A_2型の四元数対称空間がツイスター切断の零点集合として得られることがわかる。この事実をツイスター空間上で考慮することにより、Koszul複体と呼ばれるある層の完全系列を得ることができる。するとこれら四元数部分多様体上のASD束に関するコホモロジーの情報が求めたいコホモロジーの情報を与えることがわかる。このようにして、Spin(7),G_2型の四元数対称空間上のあるASD接続の「モジュライ空間の完備性」を証明することに成功した。
2.モジュライのコンパクト化においてモジュライの「境界」に現われる「特異ベクトル束」の特異点集合とベクトル束との関係を見出すことが重要課題である。さまざまな四元数対称空間上でこの特異点集合を特定することが可能となった。したがって、そのポアンカレ双対はツイスター作用素の定義されているベクトル束の次数のもっとも高いチャーン類であることがわかる。
2番目の結果が示すように、モジュライ空間は底空間の幾何学を理解するうえで、ますますその重要性を増してきていると思われる。この点の解明が今後の課題である。

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配分額：3500000円 （ 直接経費：3500000円 ）

研究代表者は積分幾何学の手法を等質空間内の変分問題に応用するために、Poincareの積分公式の具体的な表示に関する研究を進めた。複素射影空間内の実曲面に対するそのKahler角度によるPoincareの公式の具体的表示を求めた。部分多様体の交点数の積分を部分多様体の体積の積で表せない場合の始めての具体的なPoincareの公式の表示が得られたことになる。その後このPoincareの公式を一般化し、一般次元の部分多様体に関するPoincareの公式を表示するために、Kahler角度を拡張した概念:多重Kahler角度を導入した。多重Kahler角度による一般の部分多様体のPoincareの公式の具体的表示をさらに進めた。この結果、部分多様体の多重Kahler角度の積分と体積に関する不等式を導くことができ、これらの幾何学的量に関する変分問題を扱うための道具が整ってきた。多重Kahler角度は部分多様体の基本的な量であり、Poincareの公式の表示以外にも活用が期待できる。分担者:高橋と共同で複素射影空間以外の複素構造を持つ等質空間でも類似のPoincareの公式の具体的表示を求めることができた。また複素構造を持っていない等質空間であっても線形イソトロピー表現がいい性質を持っていれば、部分多様体のPoincareの公式の具体的表示が得られることがわかった。これらの研究で群作用の軌道の幾何学が積分公式の具体的表示を得るために有効であることがわかった。Kahler角度やそれを一般化した多重Kahler角度は、群作用の軌道の幾何学の観点から生まれたHermann作用によって説明できる。Hermann作用については分担者:井川と共同で軌道の基本的性質をいくつか明らかにした。今後群作用の軌道の幾何学も重要になると思われる。

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配分額：3600000円 （ 直接経費：3600000円 ）

リーマン面から対称空間への調和写像は、一般のリーマン多様体への調和写像にはない幾つかの特徴的構造を持つ。例えば、そのような調和写像の方程式は、零曲率表示やLax方程式表示を持つやゲージ理論的方程式による定式化ができる。コンパクト・リーマン面からコンパクト・リー群およびコンパクト対称空間への調和写像の研究の一つとして、そのような調和写像に付随したゲージ理論的方程式の解のモジュライ空間の構造およびその上の幾何学に取り組みいくつかの結果を得た。論文Geometry of the moduli spaces of harmonic maps into Lie groups via gauge theory over Riemann surfacesを書き上げ、これは、興味ありかつ有益であると海外の専門家たちから評価を受けた。また、コンパクト対称空間への調和写像の一つクラスの有限型調和写像を研究した。コンパクト・リーマン面からコンパクトk-対称空間への一般化された有限型primitive調和写像の概念を導入し、そのような写像は、コンパクト・リーマン面からそのヤコビ多様体へのアーベル写像とヤコビ多様体からそのk-対称空間への有限型primitive調和写像の合成になる、ことを示した。論文Harmonic maps of finite type into generalized flag manifolds and twistor fibrationsを書き上げた。論文はそれぞれ掲載予定(Inter. J.Math.、J.London Math.Soc.)である。また、可積分系と関わる研究として、フロベニウス多様体と多重調和写像の関係について注目して研究を進めている。対称空間の理論を利用して構成された複素射影空間やHermite対称空間内のLagrange極小部分多様体に対するハミルトン安定性問題の研究が現在進展して新しい結果が得られている。
研究分担者・田中真紀子は、ドイツ・ボンのマックス・プランク数学研究所短期滞在研究等を通じて、対称空間の中でも特に良い性質を持つ対称R空間を取り扱い、対称空間圏における基礎理論の立場から対称R空間の新しい特徴付けを行った。研究分担者・国分雅敏は、奇数次元ユークリッド空間の完備な等方的極小曲面の性質・構成に関する新しい結果を示した。橋口秀子は、リーマン球面からユニタリー群へ調和写像に対応するユニトン束のモジュライ空間に関する問題を研究の報告を研究連絡小集会で行なった。

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配分額：5500000円 （ 直接経費：5500000円 ）

本研究において以下の3点について研究を行った.
1 5次元接触多様体の7次元twistor空間のCR幾何学の展開を行った.接触部分束上の直交概複素構造全体のなす空間としてCR twistor空間が定義される.
4次元空間上のtwistor空間上の自然な概複素構造の可積分性定理(Atiyah,Hitchin,Singer)と同様にCR twistor空間上の概CR構造の可積分条件を5次元接触構造の曲率条件によって表現することができた.実際次の定理をえた.
定理 Mを5次元K-接触多様体とし,ZをM上のCR twistor空間とする.Z上に自然に定まる概CR構造Jが可積分であるための必要十分条件はMの反自己双対Weyl曲率が消えかつスカラー曲率s=-4である。
例として佐々木空間形でこの条件をみたすものを見出すことができた.
さらにM上の特性ベクトル場のZ上への水平もちあげがCR正則になる曲率条件も求めることができた.
2 佐々木接触多様体を定める佐々木構造がCR幾何学の立場から強擬凸正則CR構造と同一物であることを証明することができた.
3 さらに5次元佐々木接触多様体内の極小Legendre曲面についての第二変分問題等について研究を行った.

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配分額：1200000円 （ 直接経費：1200000円 ）

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配分額：1900000円 （ 直接経費：1900000円 ）

本年度は、四元数ケーラー多様体上にて定義される反自己双対方程式に対するモジュライ空間の「中心」と「境界」に関する興味深い現象を発見することに成功した。主な成果は次の通りである。
1. 「次元簡約」および「運動量写像」なる概念を用いることにより、四元数射影空間上に存在する標準接続から導入される反自己双対接続から、複素グラスマン多様体上の反自己双対接続を導くことができることを示した。ここでの鍵となるのは、接続の構造群の還元を「次元簡約」において現れるヒッグス場を接続と可換なゲージ場と考えることにより説明することにある。この方法は、新たなベクトル束の構成法を与えることにもつながる。
2. 超ケーラー多様体の自己双対接続のホロノミー代数は、可換であることを示した。しかしながら四元数ケーラー多様体の自己双対接続とは異なり、その一意性は成立しないことを例をもって示した。
3. 「次元簡約」の定式化に伴い、四元数運動量写像に対するGalicki-Lawsonの公式の別証明を与えた。この観点からすれば、ケーラーおよび超ケーラー多様体上で定義される運動量写像と、四元数運動量写像を全く統一的に理解することが可能になる。
4. モジュライの「境界」はすでにベクトル束に対応するものではないが、ある特異点集合をもつ「特異ベクトル束」として理解できる。この特異点集合を、例外群G_2およびSO(7)を等長変換群としてもつ四元数対称空間上で決定することに成功した。どちらの場合においても特異点集合として現れるのは、四元数部分多様体であり、またそのポアンカレ双対はベクトル束の第2チャーン類である。

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配分額：14700000円 （ 直接経費：14700000円 ）

本研究の目的は共形構造を中心とした微分多様体の総合的多面的研究を企画実行し,研究成果をあげることにあった.
平成9年度においては,前年度の研究進捗状況,到達点を踏まえて,8月に全国規模のシンポジウムを開催した(参加者数は251名,サーベイ講演3,一般講演数53).このシンポジウムにおいて本研究目的に関する研究の深化と広がりの獲得および研究者間の情報交換を図ることができた.
その結果,共形構造に関する大域解析的研究については,代表者の伊藤光弘,分担者の芥川和雄,納谷信,井関裕靖,加藤信らが中心となり,自己双対的4-多様体,共形平担多様体,Einstein-Weyl多様体を含む共形幾何学全般にわたって非常に大きな成果をあげることができた.ベクトル束,ゲージ理論分野の研究では,代表者,分担社の浦川肇,新田貴士(8年度分担者),長友康行(8年度分担者)らが,四元数K$"ahler多様体上の自己双対ベクトル束の進展を中心として,研究上の大きな貢献をなした.また,分担者の満渕俊樹,関川浩永らを中心とする複素,概複素多様体の研究は,ケーラー構造,概ケーラー構造の解明に重要な前進をあげた.
さらに等質空間,リーマン幾何学,シンプレクティック多様体,曲面論等,本研究と密接に関係する分野の研究においても,分担者相互の研究討論を含めて研究者間の共同研究の促進を大いに図ることができた.

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配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

[金行壮二]
1.階別リー環(GLA)の代数的研究.(1)1995年以来研究した単純GLAにおけるSylvesterの慣性律の応用として,すべての実単純ジョルダン代数内のKoecherのいみのω領域を分糞し,それらの具体的形を決定した.これは志磨裕彦(山口大)の最新の結果と合せると,不変射影平坦接続を持つ半単純対称空間の分糞を得たことになる.(2)浅野洋(横浜市大)との共同研究.B.Allisonはstructurable代数という非結合代数から第2種GLAを構成した.我々はこの代数から得られるある三項積を用いて,I.L.Kantorの一般的方法でGLAを構成した.そしてそれがAllisonのGLAと一致することを示した.論文執筆中.
2.等質パラケーラー多様体の研究.(1)単純リー群の対称空間で,不変パラケーラー構造を持つものをパラエルミート対称空間(C型とBC型あり)という.我々はBC型パラエルミート対称空間に対して,一般化された共形構造の自己同型群を決定した.これは田中昇氏の結果の部分的拡張になっている.論文執筆中.(2)S.Deng,Z.Hou(南開大学,中国,天津)との共同研究.半単純群の等質パラケーラーの多様体はどれくらい存在するか?という問題の代数的翻訳として,半単純り-環の双極化は常に階別付から得られるか?という問題がある.我々は,リー環が複素半単純の場合に,この問題の肯定的解決を得た.実の場合は目下進行中である.論文執筆中.
[研究分担者]
詳述する余裕がないが,並河によるカラビ・ヤウ多様体の特異点解消の研究,長友による四元数ケーラー多様体上のベクトル束のモヂュライの研究,長野による対称空間のg-Signatureの決定の研究.

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長野は対称空間の指数とg-指数とそれに関連する自己交差数との決定,およびその応用を行った。指数の値は(Hirzebruch-Slodowyより前に)報告済みであったが,証明を詳しく与えることにした.その特徴はg-指数と自己交差数との関連を利用することによって簡単であるばかりでなく幾何学的な情報が得られる点にある.g-指数定理のほかに作用する円群U(1)の固定点集合の指数との関係を与える服部・谷口の定理も併用して,部分空間の指数との関係式を与えたのもその例である.さらに一群の例外型の空間におけるある特定の部分空間の二つの交わりが必ず「直角正三角形」を含むという定理,これはこの型の空間にいわば共通に存在するコホモロジー類の存在より精密な幾何学的定理である.次の研究課題としてのツウィスタ空間および等長変換群より「大きな」変換群とに関連した微分方程式で定義できる不変量などの研究は準備段階にあるが順調に進展している。
金行は,双極化した複素数体上の半単純リー環には階別化が伴うことを証明した.(逆は既知.)
長友は,四元数ケ-ラ空間の反自己双対接続のモヂュライの研究を進めた.例えばその空間が複素グラスマン空間でその上の線型束のChern類がある仮定を満たすとき,等質束であり接続が標準的なものに限ることを証明した.Chern類がある別の条件を満たすときにはモヂュライが複素射影空間上の「円錐」であることを示した.

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配分額：800000円 （ 直接経費：800000円 ）

四元数ケーラー多様体上のYang-Mills方程式に対する新たな解空間、もしくはモジュライ空間を求めることに成功した。主な成果は次の通りである。
1.正のスカラー曲率をもつcompactな四元数ケーラー多様体上の複素直線束にたいして、その反自己双対接続をすべて決定することができた。すなわち、Chern類を固定して考えると、そのモジュライ空間は一点になるということができる。このうち、自明でない接続をもつものは、複素グラスマン多様体だけである。
2.1のようにそのモジュライ空間が一点となるようなベクトル束は、rankの高い場合にも起こり得ることを示した。ここは、4次元多様体の場合と著しく異なる。このような例を複素グラスマン多様体上で構成した。
3.1,2のベクトル束の直和を考えることにすると、反自己双対接続の変形が可能となることを示すことができた。さらにこの場合は、その変形をすべて記述することが可能である。その結果、モジュライ空間はある複素射影空間上のopen coneと見なせることが明らかとなった。この例も今までのものと比較すると、いくつかの相違点をもつ。第一には、このベクトル束は奇数次の0ではないChern類をもつ。第二に、このモジュライ空間の境界を調べると、その点は特異集合をもつベクトル束と理解できるが、その特異集合が四元数の意味で余次元が1となる複素グラスマン多様体のみであるという点である。
これらの新たに発見された例、とくに3の場合のモジュライ空間も実は、底空間の等長変換群の表現空間と密接な関係をもっており、この点では今まで発見してきた解空間との統一性が見られる。このようにモジュライ空間は底空間の幾何学を理解するうえで、ますますその重要性を増してきていると思われる。この点が今後の課題である。

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配分額：1800000円 （ 直接経費：1800000円 ）

長野は対称空間の幾何学的理論の総括の一形式として,理論に基づきtwistor空間,階別リ-空間などの分類を与える2層束を構成し,また微小部分多様体に応用した.その後コンパクト対称空間のSignatureおよび部分空間の自己交差の研究に成果をあげつつある.
金行は4論文を書いた.根系の符号と階別リー環との関係を明らかにし,因果構造を位置づけた.対称R空間の各接空間中に錐を与える自然な場を発見しその自己同型群を決定した;Liouvilleの定理の拡張を得た.symplectic多様体に二つの横断的葉層が存在するものを研究してきたが,今年はそれが自己同型群であるコンパクトリー群が推移的であるためには偶数次元トーラスであることを証明した.第1種階別リー環の随伴群の自然な部分群の作用から,軌道分解の問題が起こる(古典的にはSylvesterの慣性律が例)が,それを解決した;開軌道の記述をJordan3項積を使って行った.
加藤はMaskitの定理が複素3次元の場合にも成立することを示した;射影空間中の稠密で直線を含む領域が被覆するコンパクト複素多様体が二つあればその連結和もこの条件を満たす.
長友には発表ずみ,および発表予定論文が3篇,投稿中のも3篇ある.正のスカラ曲率のコンパクト4元数ケーラー多様体上の反自己双対束にDirac型の作用素を定義し,その解空間とtwistor空間上の層係数コホモロジーとの対応を確立した(Penrose変換).それから消滅定理を導出した.これを使って,4元数射影空間上の反自己双対束であるインスタントンの構成と分類とにmonad構成法を適用するのに成功した.さらに4元数ケーラーである複素グラスマン多様体上の反自己双対束であるインスタントンを定義して同様に構成と分類とを行った.表現論とmonad構成法との間の関係を確立して,一般な4元数ケーラー対称空間上の反自己双対束を構成しmuduliを記述した.

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配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

1.微分方程式の漸近解析について。内山は実領域で双曲型方程式の特異摂動を研究し、修正項が分散型になる場合の漸近解をマスロフの正準作用素を用いて構成した。さらに、漸近展開の誤差評価を与えた。(公刊予定)。また、一連の研究の総合報告を研究集会で発表した。(公刊予定)。森本は球面の上のジュヴレイ級の関数をラプラス作用素によって特徴づける共同研究を公刊した。平田は長距離の相互作用を持つハートレー方程式の長時間経過に対する漸近挙動の研究を公刊した。さらに、楕円双曲型デイヴィ・スチュワ-ロソン方程式の小さな解に対し、時間にかんする大域解の存在と漸近挙動に関する共同研究を行った(論文投稿中)。非線型シュレ-ヂンガー方程式の小さな解の大域存在の共同研究を行った(論文投稿中)。
2.解析汎関数と複素漸近解析。森本は複素光錘の上の解析汎関数の研究を行い、同次多項式による展開とフーリエ・ボレル変換の共同研究を公刊した。田原は複素領域で特異点をもつ非線型偏微分方程式の正則解と特異解を研究し、第36回谷口シンポジュームで発表した。これに関する一連の研究を英文の単行本として共著で出版した。吉野は半平面の直積の上で定義され、ある整数論的な条件を満たす指数型正則関数の形の研究を公刊した。またディジタル信号と解析汎関数の変換を解説する単行本を共緒で公刊した。
3.関連する研究として、幾何学では長友は4元数ケーラー多様体上のASDベクトル束に対し、ペンローズ変換を確立し、コホモロジーの消滅定理を証明する研究を公刊した。関口は付値環のつくる局所環空間の微分形式のつくる層の代数幾何学的研究を行い公刊した。斎藤は陰関数の数式処理の研究を行って研究集会で発表した。

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配分額：1100000円 （ 直接経費：1100000円 ）

3次元コンパクト複素多様体で3次元射影空間内の直線の近傍と正則同型な領域を含む多様体(Class Lの多様体1982年)に関して今年度は次のことを研究することが目標であった。
1.Ωの補集合が解析的集合Eになる事を仮定すると、この補集合は幾つかの超曲面の和集合になるが、このようなEは低次元解析的集合への置き換え操作によって、もとのClassLの多様体を、直線が動きうる範囲Ωが全体空間になるようなClassLの多様体に改変出来ると思う。その可能性を研究したい。
2.複素解析的な幾何学構造(及び対数的幾何学構造)を仮定したときの特性類の間に成立する公式の一般化。
3.実双曲多様体上のflat twistor空間の幾何学的および函数論的な性質の研究。
まず第1に関しては、現在進行中であるが、まだきちんとした結果は得られていない。来年度も引き続いて考察する予定である。特にEが非特異かつ既約になる場合に完全な決定をしたい。第2に関しては、射影的、及び共形的複素葉層構造の場合について特性類の公式を得た(未発表)。これは、射影的、及び共形的複素構造の場合について公式の拡張であって、微分可能多様体論におけるΓ-葉層構造の特性類の公式の類似である。第3については、残念ながら進展が無かった。
当初の目標とは外れるが、現在、Riemann面におけるSchottky空間の類似を複素3次元で構成することを研究中である。(2n-1)次元複素射影空間に対して複素解析的にハンドルを付けることができる。g個ハンドルを付けて出来るコンパクト複素多様体(Schottky型の多様体)をM_-gとすると、そのKuranisi空間は非特異で{4n^2-1}(g-1)+h^0である(ただし、h^0は正則ベクトル場の次元で7以下。nが大きいとき、一般にはh^0=0)。このような多様体のmuduli空間のコンパクト化は興味がある。non-Kaehlerであるから、通常の方法が使えないがGerrizen, L., Herrlich, F.等の研究に注目してその高次元化の方向で研究をはじめた。

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