Grant amount：\5070000 （ Direct Cost: \3900000 、 Indirect Cost：\1170000 ）

Though a generalization of Do Carmo-Wallach theory on moduli spaces of minimal immersions between spheres was achieved by me, I succeeded to refine it. To do so, I define a new equivalence relation of maps called gauge equivalence of maps. This gives a unified proof of results which were obtained in another ways. In addition, I described a moduli spaces of holomorphic isometric embeddings of complex projective lines into complex quadrics. Moreover, I defined a projectively flat immersions into complex Grassmannian and obtained some properties of projectively flat immersions.
On the other hand, I got principal curvatures of isoparametric hypersurfaces of compact symmetric spaces. Such hypersurfaces was defined by isoparametric functions induced from sections of vector bundles. Invariants of submanifolds are related to invariants of connections on vector bundles.

researchmap

researchmap

Grant amount：\4420000 （ Direct Cost: \3400000 、 Indirect Cost：\1020000 ）

Using a characterization of harmonic maps into Grassmannians by linear equations, we construct isoparametric functions on symmetric spaces. Moreover, these are transformed into isoparametric functions on spheres by Radon transform. We describe a moduli space of harmonic maps between complex projective spaces with constant energy densities by linear algebraic datum. We also describe a moduli spaces of holomorphic maps from Hermitian symmetric spaces into complex Grassmannian manifolds in a similar method.

researchmap

Grant amount：\27560000 （ Direct Cost: \21200000 、 Indirect Cost：\6360000 ）

We classified almost all isoparametric hypersurface, and characterize them in terms of the moment map, which proves the evidence of a relation with integrable systems. A basic theory of surfaces with singularities, and a new method using the Legendre map have been established. Via the Riemann-Hilbert correspondence, the dynamical system of Painleve equations is investigated, and the view point of the chaos has been developed. The modularity of higher genus Gromov-Witten and the mirror symmetry are discussed. A surface with potential appeared in quantum cohomology is constructed, which contributes to the tt* geometry.

researchmap

Grant type：Competitive

researchmap

Grant amount：\8740000 （ Direct Cost: \7300000 、 Indirect Cost：\1440000 ）

Properties of certain classes of surfaces with singularities are investigated with Weirstrass-type representation formula. For example, global behavior of flat fronts, and behavior of singularities of maximal surfaces in Lorentz-Minkowski 3-space and mean curvature one surfaces in de Sitter 3-space are investigated.
On the other hand, as a general theory of differential geometry of singularities, a notion of singular curvature of the singular points of wave fronts is defined, and Gauss-Bonnet type formulas are obtained.

researchmap

researchmap

Grant amount：\6490000 （ Direct Cost: \5800000 、 Indirect Cost：\690000 ）

In 2005, we focus our attention on submanifolds which appear as singular sets of ideal instantons. Those are zero loci of the twistor sections satisfying linear equations which are linearization of the (higher dimensional instanton equations. Moreover, we construct embeddings of the Wolf spares into Grassmannian_, which turn out to be minimal embeddings. We also obtain vanishing theorems for cohomology groups.
In 2006, we succeeded to find some relations between harmonic mappings into Grasmannians and the Yang-Mills connections, which are essential and important steps to our subject. We obtain a condition for a map of a Riemannian manifold into Grassmannian to be a harmonic map. We use this condition to obtain the classification of harmonic maps with constant energy density from holonomy irreducible homogeneous manifold s into Grassmannian manifolds. In addition, we can show that a vector bundles on a real Grassmannian manifold with some topological type admits a unique ASD connection up to gauge equivalence.
In 2007, we consider the cases that a harmonic map into Grassmannian is a totally geodesic one. As a result, we obtain the classification of totally geodesic immersions of irreducible type. In this classification, we obtain an integral formula which indicates the dimension of Grassmannian, which is the target space of the mapping. In the case of the complex projective line, we can show that an indecomposable totally geodesic immersion is an totally geodesic immersion of the irreducible type. To obtain the result, we use the above characterization of a harmonic map and construct a variant of the spherical function theory on homogeneous vector bundles. This implies that we can classify all totally geodesic immersions of complex projective line into Grassmannians. We develop an analogue of the "geometry of the twistor sections" on symmetric spaces of compact type. This gives us pairs of totally geodesic submanifolds on almost symmetric spaces of compact type. These pairs are intimately related to vector bundles and sections of them. Indeed, we can construct a function using a section, which is an isoparametric function on every Grassmann manifold. This function gives a family of submanifolds as level sets. We can find one and only minimal submanifold in this family.

researchmap

Grant amount：\34970000 （ Direct Cost: \26900000 、 Indirect Cost：\8070000 ）

Miyaoka gives a new proof for the Dorfmeister Neher classification theorem on isoparametric hypersurfaces, and as applications of hypersurface geometry, clarifies the topological structure of the anti-self-dual bundle of complex projective plane and complete austere submanifolds, constructs Ricci flat metrics, special Lagrangian submanifolds. She also gets twister fibrations from the geometry of G2 orbits. Iwasaki connects the algebraic formulation of Painleve IV with the ergodic theory of birational maps of algebraic surfaces via Riemann-Hilbert correspondence, and shows the chaotic behavior of non-linear monodoromy. Kajiwara applies the theoretic formulation of the Painleve systems and constructs the determinant formula of the hypergeometric solutions of q-Painleve, and relates it with the solutions of the associate linear problems. Nakayashiki characterizes the coefficients of the series of sigma function by those of defining functions of the algebraic curves. Nagatomo obtains an essential relation between harmonic maps and the Yang-Mills connections, and generalizes Takahashi's theorem, de Carom-Wallach's theorem, and constructs harmonic maps from quaternion Kaehler manifold to Grassmannian manifolds. Yamada-Umehara-Rossman classify the behavior of the ends of complete flat fronts in the hyperbolic 3-space. Fujioka studies integrability and periodicity of the motion of curves in complex hyperbolics which depend on Burger's equation and have descritization. Ishikawa classifies singularities of inproper affine surfaces and surfaces with constant Gauss curvature, and their dual surfaces. He also clarifies moduli of the singularities, and obtains a relation between plane curves and their Legendle curves. Udagawa classifies compact isotropic submanifolds with parallel mean curvature vector wit the sectional curvature. Tamaru proves a fixed point theorem for cohomogeneity one action corresponding to homogeneous hypersurfaces in symmetric spaces of non-compact type. Matsuura studies a development of plane curves depending on KdV equation w..r.t. discrete time. Ikeda studies equi-energy surfaces of characteristic manifod of Whittaker abel group and full Kostant-Toda lattice via micro-local anaysis. Guest investigates harmonic maps, quantum cohomorogy and mirror symmetry, and writes an introductory book Futaki proves the existence of Sasaki-Einstein metrics on some toric Sasakian manifolds, in particular, the existence of compelete Ricci-flat metric on the canonical bundles of toric Fano manifolds.

researchmap

researchmap

Grant amount：\9200000 （ Direct Cost: \9200000 ）

1.W rewrote the Weierstrass-type representation formula for flat surfaces in hyperbolic 3-space in the form without integration (Darboux-type formula), and classified complete flat surfaces with small numbers of ends. 2.We pointed out the class of ambient spaces for which an analogue of Weierstrass-type (Bryant) representation formula for mean curvature one surfaces in hyperbolic 3-space holds. 3.We found criteria for singularities (cuspidal edges, swallowtails, cuspidal cross caps) which are generic singularities of fronts or frontals. 4.We established fundamental notions of flat fronts in hyperbolic 3-space, and investiagted properties of singularities of such surfaces. 5.We defined a certain class of maximal surfaces with singularities in Minkowski 3-space (called maxface), and investigated their singularities.

researchmap

Grant amount：\3900000 （ Direct Cost: \3900000 ）

We succeeded systematic constructions of families of anti-self dual (ASD) connections using representation theory of compact Lie groups before the project, which is a generalization of the ADHM-construction on the 4-dimensional sphere and Buchdahl's construction of instantons on the complex projective plane. Applying a method of dimensional reduction to our constructions, we can show that there is a relation between ASD connections on different base spaces. This method is expected to give a new way of finding vector bundles with ASD connections. It remains an important question whether our families of ASD connections are complete or not. This problem would be crucial in compactifying moduli spaces of ASD connections. We can succeed to construct a theory of twistor sections which is a section of a vector bundle satisfying the twistor equation. As a result, we obtain affirmative answers to the above question in various cases. This is because a twistor section corresponds to a holomorphic section on the twistor space, and we can apply homological algebraic methods to our problems. Moreover, when a theory of twistor sections is applied to homogeneous vector bundles on compact quaternion symnmetric spaces, we can show that there exists a bijection between the two sets. One is a set consists of zero loci of twistor sections and the others is the set of the real representations of simple compact connected Lie groups with non-trivial principal isotropy subgroups which are neither torn nor discrete groups. Using a theory of twistor sections, we can also show that there exists a relation between a singular ASD connection with a singular set and a vector bundle with such a connection. Here, a singular ASD connection naturally appears when we compactify the moduli spaces of ASD connections using the theory of monads. In short, we can show the fact in many cases that the homology class represented by the singular set of the singular ASD connection has a characteristic lass of a vector bundle as a Poincare dual. In higher dimensional cases, we necessarily meet the difficulty such that we need to consider too many sheaf cohomology groups on the twistor spaces when applying homological algebraic methods. Though we obtained vanishing theorems of sheaf cohomology groups before the project., we got more vanishing theorems which can be regarded as final versions. Combined these generalized vanishing theorems of sheaf cohomology groups with a theory of twistor sections, we can succeed to construct moduli spaces of ASD connections in more cases. Up to now, any systematic concrete examples of moduli spaces of higher dimensional instantons can not been seen anywhere except ours.

researchmap

Grant amount：\2800000 （ Direct Cost: \2800000 ）

I proved the homogeneity of isoparametric hypersurfaces with six principal curvatures with multiplicity two, which I had been tackling for several years. I also got a new proof of Dorfmeister-Neher's theorem which treats the multiplicity one case, in a unified manner.
Investigating the resulted homogeneous hypersurfaces, I got the following As was known in the case of multiplicity one, the hypersurfaces with 6 principal curvatures are given as a fibration over those with 3 principal curvature, where the fibers aret otally geodesic spheres. In the case of multiplicity two, the fiber dimension is six, while in the case of multiplicity one, this is three. Discovery of the fibration structure is an extension of our former results on the degenerate Gauss mapping which was done with G. Ishikawa and M. Kimura.
Moreover, using the fact that the family of isoparametric hypersurfaces fill the ambient space, we get an interesting relation between 13-dimensional sphere and 7-dimensional sphere. Furthermore, using that these hypersurfaces are given as orbits of the exceptional group G_2, we can show that there exists a metric on S^7-CP^2 of which holonomy group is G_2. From this, a real open version of Calabi conjecture will be considered, i.e., when a compact Riemannian manifolds with positive Ricci curvature from which a certain part removed, admits a metric with G_2 holonomy? In this way, hypersurfaces obtained as G_2 orbits suggest us very important and interesting problems.

researchmap

Grant amount：\8000000 （ Direct Cost: \8000000 ）

In this project we had much research activity during the research period and we obtained the following fruitful research results. We expect fitter research progress.
The joint work of Ohnita and Udagawa on harmonic maps of finite type was published in the proceedings of the 9-th MSJ-IRI. It is related with the equivalence problem among twisted loop algebras associated with different k-symmetric spaces and we will go to further research. And Ohnita discussed pluriharmonic maps into symmetric spaces from the viewpoint of integrable systems and proved DPW formula for pluriharmonic maps. In the joint work with James Eells on the structure of spaces of harmonic maps we started from the precise proof that the space of harmonic maps between compact real analytic Riemannian manifols is a real analytic space, and we are still working. From the viewpoint of a new area in minimal submanifold theory, Ohnita studies the Hamiltonian stability problem of Lagrangian submanifolds in K"ahler manifolds. By the Lie theoretic method, he showed that compact minimal irreducible symmetric Lagrangian submanifolds embedded in complex projective spaces are Hamiltonian stable. Moreover, we proved that compact symmetric Lagrangian submanifolds embedded in complex Euclidean spaces. And we discuss the relationship between Lagrangian submanifolds and the moment maps. Until now only known Hamiltonian stable Lagrangian submanifolds in complex projective spaces and complex Euclidean spaces. Were real projective subspaces and Clifford tori. However we gave many rich examples of Hamiltonian stable Lagrangian submanifolds in the class of Lagrangian submanifolds with parallel second fundamental form, namely symmetric Lagrangian submanifolds. Koike has succeeded in construction of theory for complex equifocal submanifolds in symmetri spaces and isoparametric submanifolds in Hilbert spaces in the case of noncompact type. It is an answer to a problem posed by Terng-Thorgergsson.

researchmap

Grant amount：\2100000 （ Direct Cost: \2100000 ）

本年度は、昨年度に得られたツイスター方程式と四元数部分多様体との関係についての結果を四元数対称空間上のベクトル束に適用することにより、ほとんどすべての四元数対称空間内の四元数部分多様体がツイスター切断の零点として実現できることを示すことに成功した。キーポイントは、等質ベクトル束の一般的なツイスター切断が零切断と横断的に交わることを統一的に導く方法を確立したこと、および昨年度の結果とBott-Borel-Weil理論を組み合わせることにより、ツイスター切断の零点集合の連結性を示せたということである。
この結果はモジュライ空間についての考察に次の2点で関連してくる。
1.リー群Spin(7),G_2型の四元数対称空間において、G_2,A_2型の四元数対称空間がツイスター切断の零点集合として得られることがわかる。この事実をツイスター空間上で考慮することにより、Koszul複体と呼ばれるある層の完全系列を得ることができる。するとこれら四元数部分多様体上のASD束に関するコホモロジーの情報が求めたいコホモロジーの情報を与えることがわかる。このようにして、Spin(7),G_2型の四元数対称空間上のあるASD接続の「モジュライ空間の完備性」を証明することに成功した。
2.モジュライのコンパクト化においてモジュライの「境界」に現われる「特異ベクトル束」の特異点集合とベクトル束との関係を見出すことが重要課題である。さまざまな四元数対称空間上でこの特異点集合を特定することが可能となった。したがって、そのポアンカレ双対はツイスター作用素の定義されているベクトル束の次数のもっとも高いチャーン類であることがわかる。
2番目の結果が示すように、モジュライ空間は底空間の幾何学を理解するうえで、ますますその重要性を増してきていると思われる。この点の解明が今後の課題である。

researchmap

Grant amount：\3500000 （ Direct Cost: \3500000 ）

The head investigator has developed explicit expressions of Poincare integral formulas in order to apply these formulas of integral geometry to variational problems in homogeneous spaces. He has obtained an explicit representa tion of Poincare formula of real surfaces in the complex projective spaces in terms of the Kahler angles of those surfaces. This is the first explicit one in which the integral of intersection numbers is not expressed by the product of the volumes of submanifolds. After this in order to generalize this formula to those for general real submanifolds in the complex projective spaces he defined multiple Kahler angles which were generalizations of Kahler angle. According to the multiple Kahler angle he has developed Poincare formulas of general real submanifolds in the complex projective spaces. As a conse quence a relation among some integrals of the multiple Kahler angles and the volumes of submanifolds can be obtained and will become a tool for variational problems.

researchmap

Grant amount：\3600000 （ Direct Cost: \3600000 ）

Harmonic maps into symmetric spaces have several characteristic properties that harmonic maps into general Riemannian manifolds do not have. For example such harmonic map equation can be formulated as the zero curvature equation, the Lax equation and gauge-theoretic equations. As an approach for harmonic maps into symmeric spaces, we investigate the gauge-theoretic equations associated to such harmonic maps and the structure and the geometry of the moduli spaces of their solutions, and we obatined several results. I have written up the paper entitled with "Geoemtry of the moduli spaces of harmonic maps into Lie groups via gauge theory over Riemann surfaces" This work was estimated by foreign researchers as it is very interesting and imformative. Furthermore, we studied harmonic maps of finite type which is a class of harmonic maps into compact symmetric spaces. We introduced the notion of harmonic maps of generalized finite type from compact Riemann surfaces to compact k-symmetric spaces, and we proved that such a harmonic map is the composition of the Abel map from a compact Riemann surface to the Jacobi variety and a pluriharmonic map from the Jacobi variety to a k-symmetric space. We have written up the paper entitled with "Harmonic maps of finite type into generalized flag manifolds and twistor fibrations" They will be published in Inter. J. Math. And J. London Math. Soc., respectively. On the other hand, as the research related to integrable systems, we give our attention to the relationship between Frobenius manifolds and pluriharmonic maps. It is now in progress to study Hamiltonian stability problem for compact minimal Lagrangian submanifolds in complex projective spaces and Hermitian symmetric spaces constructed by using the symmetric space theory and we obtain new results on it.
The collaborator, Makiko Tanaka, treated symmetric R-spaces with nice properties in symmetric spaces and gave the new characterization of symmetric R-spaces from the viewpoint of the basic theory in the category of symmetric spaces through stays at Max-Planck-Institut fuer Mathematik in Bonn, Germany etc. The collaborator, Masatoshi Kokubu,showed new results on propeties and construction of complete isotropic minimal surfaces in odd-dimensional Euclidean space. The collaborator, Hideko Hashiguchi, gave a research report on problems about moduli space of unitons corresponding to harmonic maps from a Riemann sphere into the unitary group at this research meeting.

researchmap

Grant amount：\5500000 （ Direct Cost: \5500000 ）

In this project we studied the following researches.
1. Study of CR twistor space over a 5-dim contact metric manifold was developed. In analogy of 4-dim manifold it is shown that the CR twistor space admits an almost CR structure and it is verified that this almost CR structure is integrable under the curvature conditions on a given base contact metric 5-manifold, that the anti-self-dual Weyl conformal tensor vanishes and also the scalar curvature s=-4.
2. 4-dimensional geometry can be applied to the contact subbundle of contact metric manifolds. By Tachibana's theorem and also by N.Tanaka's systematic theory on CR geometry harmonic k-forms over a compact Sasakian (2n+1)-manifold take values in the contact subbundle, when k<n+1. So the self-duality in Sasakian contact structure was defined like 4-dim manifold theory. Remark that Sasakian contact structure turns out to be nothing but a normal strongly pseudo convex CR structure, a main subject in CR geometry.
3. Study of Legendrian surfaces minimally immersed in a Sasakian contact 5-manifold was proceeded in terms of Hopf differential, the cubic differential and also in terms of the second variation.

researchmap

Grant amount：\1200000 （ Direct Cost: \1200000 ）

researchmap

Grant amount：\1900000 （ Direct Cost: \1900000 ）

本年度は、四元数ケーラー多様体上にて定義される反自己双対方程式に対するモジュライ空間の「中心」と「境界」に関する興味深い現象を発見することに成功した。主な成果は次の通りである。
1. 「次元簡約」および「運動量写像」なる概念を用いることにより、四元数射影空間上に存在する標準接続から導入される反自己双対接続から、複素グラスマン多様体上の反自己双対接続を導くことができることを示した。ここでの鍵となるのは、接続の構造群の還元を「次元簡約」において現れるヒッグス場を接続と可換なゲージ場と考えることにより説明することにある。この方法は、新たなベクトル束の構成法を与えることにもつながる。
2. 超ケーラー多様体の自己双対接続のホロノミー代数は、可換であることを示した。しかしながら四元数ケーラー多様体の自己双対接続とは異なり、その一意性は成立しないことを例をもって示した。
3. 「次元簡約」の定式化に伴い、四元数運動量写像に対するGalicki-Lawsonの公式の別証明を与えた。この観点からすれば、ケーラーおよび超ケーラー多様体上で定義される運動量写像と、四元数運動量写像を全く統一的に理解することが可能になる。
4. モジュライの「境界」はすでにベクトル束に対応するものではないが、ある特異点集合をもつ「特異ベクトル束」として理解できる。この特異点集合を、例外群G_2およびSO(7)を等長変換群としてもつ四元数対称空間上で決定することに成功した。どちらの場合においても特異点集合として現れるのは、四元数部分多様体であり、またそのポアンカレ双対はベクトル束の第2チャーン類である。

researchmap

Grant amount：\14700000 （ Direct Cost: \14700000 ）

The purposes of this research project was to accomplish synthetic investigation for geometry of manifolds, mainly for conformal structures and to obtain progressive reserach results.
By considering the last year's research progress situation we held in August, 1997 the geometry symposium, greatly organized, on a nationwide scale (participants 251, survey lectures 3, ordinary talks 53). In this symposium we could get exchanging of informations among researchers and intension and broadening of researches related to the purposes. As its consequences, for the research of global analysis on conformal structures M.Itoh, myself, the chief researcher, together with coresearchers, K.Akutagawa, S.Nayatani, Y.Izeki, S.Kato were able to obtain plenty of researches on the whole conformal geometry covering self-dual 4-manifolds, conformally flat manifolds and Einstein-Weyl manifolds.
In the other areas, that is, geometry of vector bundles, gauge fields great contributions were done by this project, especially in the field of self-dual bundles on quaternionic Kaehler manifolds. And also investigations done by this project took a progressive step in the direction of (almost) Kaehler structures. Furthermore, homogeneous manifolds, Rie-mannian geometry, symplectic geometry, geometry of curves and surfaces could get research progresses.

researchmap

Grant amount：\2100000 （ Direct Cost: \2100000 ）

[金行壮二]
1.階別リー環(GLA)の代数的研究.(1)1995年以来研究した単純GLAにおけるSylvesterの慣性律の応用として,すべての実単純ジョルダン代数内のKoecherのいみのω領域を分糞し,それらの具体的形を決定した.これは志磨裕彦(山口大)の最新の結果と合せると,不変射影平坦接続を持つ半単純対称空間の分糞を得たことになる.(2)浅野洋(横浜市大)との共同研究.B.Allisonはstructurable代数という非結合代数から第2種GLAを構成した.我々はこの代数から得られるある三項積を用いて,I.L.Kantorの一般的方法でGLAを構成した.そしてそれがAllisonのGLAと一致することを示した.論文執筆中.
2.等質パラケーラー多様体の研究.(1)単純リー群の対称空間で,不変パラケーラー構造を持つものをパラエルミート対称空間(C型とBC型あり)という.我々はBC型パラエルミート対称空間に対して,一般化された共形構造の自己同型群を決定した.これは田中昇氏の結果の部分的拡張になっている.論文執筆中.(2)S.Deng,Z.Hou(南開大学,中国,天津)との共同研究.半単純群の等質パラケーラーの多様体はどれくらい存在するか?という問題の代数的翻訳として,半単純り-環の双極化は常に階別付から得られるか?という問題がある.我々は,リー環が複素半単純の場合に,この問題の肯定的解決を得た.実の場合は目下進行中である.論文執筆中.
[研究分担者]
詳述する余裕がないが,並河によるカラビ・ヤウ多様体の特異点解消の研究,長友による四元数ケーラー多様体上のベクトル束のモヂュライの研究,長野による対称空間のg-Signatureの決定の研究.

researchmap

長野は対称空間の指数とg-指数とそれに関連する自己交差数との決定,およびその応用を行った。指数の値は(Hirzebruch-Slodowyより前に)報告済みであったが,証明を詳しく与えることにした.その特徴はg-指数と自己交差数との関連を利用することによって簡単であるばかりでなく幾何学的な情報が得られる点にある.g-指数定理のほかに作用する円群U(1)の固定点集合の指数との関係を与える服部・谷口の定理も併用して,部分空間の指数との関係式を与えたのもその例である.さらに一群の例外型の空間におけるある特定の部分空間の二つの交わりが必ず「直角正三角形」を含むという定理,これはこの型の空間にいわば共通に存在するコホモロジー類の存在より精密な幾何学的定理である.次の研究課題としてのツウィスタ空間および等長変換群より「大きな」変換群とに関連した微分方程式で定義できる不変量などの研究は準備段階にあるが順調に進展している。
金行は,双極化した複素数体上の半単純リー環には階別化が伴うことを証明した.(逆は既知.)
長友は,四元数ケ-ラ空間の反自己双対接続のモヂュライの研究を進めた.例えばその空間が複素グラスマン空間でその上の線型束のChern類がある仮定を満たすとき,等質束であり接続が標準的なものに限ることを証明した.Chern類がある別の条件を満たすときにはモヂュライが複素射影空間上の「円錐」であることを示した.

researchmap

Grant amount：\800000 （ Direct Cost: \800000 ）

四元数ケーラー多様体上のYang-Mills方程式に対する新たな解空間、もしくはモジュライ空間を求めることに成功した。主な成果は次の通りである。
1.正のスカラー曲率をもつcompactな四元数ケーラー多様体上の複素直線束にたいして、その反自己双対接続をすべて決定することができた。すなわち、Chern類を固定して考えると、そのモジュライ空間は一点になるということができる。このうち、自明でない接続をもつものは、複素グラスマン多様体だけである。
2.1のようにそのモジュライ空間が一点となるようなベクトル束は、rankの高い場合にも起こり得ることを示した。ここは、4次元多様体の場合と著しく異なる。このような例を複素グラスマン多様体上で構成した。
3.1,2のベクトル束の直和を考えることにすると、反自己双対接続の変形が可能となることを示すことができた。さらにこの場合は、その変形をすべて記述することが可能である。その結果、モジュライ空間はある複素射影空間上のopen coneと見なせることが明らかとなった。この例も今までのものと比較すると、いくつかの相違点をもつ。第一には、このベクトル束は奇数次の0ではないChern類をもつ。第二に、このモジュライ空間の境界を調べると、その点は特異集合をもつベクトル束と理解できるが、その特異集合が四元数の意味で余次元が1となる複素グラスマン多様体のみであるという点である。
これらの新たに発見された例、とくに3の場合のモジュライ空間も実は、底空間の等長変換群の表現空間と密接な関係をもっており、この点では今まで発見してきた解空間との統一性が見られる。このようにモジュライ空間は底空間の幾何学を理解するうえで、ますますその重要性を増してきていると思われる。この点が今後の課題である。

researchmap

Grant amount：\1800000 （ Direct Cost: \1800000 ）

長野は対称空間の幾何学的理論の総括の一形式として,理論に基づきtwistor空間,階別リ-空間などの分類を与える2層束を構成し,また微小部分多様体に応用した.その後コンパクト対称空間のSignatureおよび部分空間の自己交差の研究に成果をあげつつある.
金行は4論文を書いた.根系の符号と階別リー環との関係を明らかにし,因果構造を位置づけた.対称R空間の各接空間中に錐を与える自然な場を発見しその自己同型群を決定した;Liouvilleの定理の拡張を得た.symplectic多様体に二つの横断的葉層が存在するものを研究してきたが,今年はそれが自己同型群であるコンパクトリー群が推移的であるためには偶数次元トーラスであることを証明した.第1種階別リー環の随伴群の自然な部分群の作用から,軌道分解の問題が起こる(古典的にはSylvesterの慣性律が例)が,それを解決した;開軌道の記述をJordan3項積を使って行った.
加藤はMaskitの定理が複素3次元の場合にも成立することを示した;射影空間中の稠密で直線を含む領域が被覆するコンパクト複素多様体が二つあればその連結和もこの条件を満たす.
長友には発表ずみ,および発表予定論文が3篇,投稿中のも3篇ある.正のスカラ曲率のコンパクト4元数ケーラー多様体上の反自己双対束にDirac型の作用素を定義し,その解空間とtwistor空間上の層係数コホモロジーとの対応を確立した(Penrose変換).それから消滅定理を導出した.これを使って,4元数射影空間上の反自己双対束であるインスタントンの構成と分類とにmonad構成法を適用するのに成功した.さらに4元数ケーラーである複素グラスマン多様体上の反自己双対束であるインスタントンを定義して同様に構成と分類とを行った.表現論とmonad構成法との間の関係を確立して,一般な4元数ケーラー対称空間上の反自己双対束を構成しmuduliを記述した.

researchmap

Grant amount：\2100000 （ Direct Cost: \2100000 ）

1.微分方程式の漸近解析について。内山は実領域で双曲型方程式の特異摂動を研究し、修正項が分散型になる場合の漸近解をマスロフの正準作用素を用いて構成した。さらに、漸近展開の誤差評価を与えた。(公刊予定)。また、一連の研究の総合報告を研究集会で発表した。(公刊予定)。森本は球面の上のジュヴレイ級の関数をラプラス作用素によって特徴づける共同研究を公刊した。平田は長距離の相互作用を持つハートレー方程式の長時間経過に対する漸近挙動の研究を公刊した。さらに、楕円双曲型デイヴィ・スチュワ-ロソン方程式の小さな解に対し、時間にかんする大域解の存在と漸近挙動に関する共同研究を行った(論文投稿中)。非線型シュレ-ヂンガー方程式の小さな解の大域存在の共同研究を行った(論文投稿中)。
2.解析汎関数と複素漸近解析。森本は複素光錘の上の解析汎関数の研究を行い、同次多項式による展開とフーリエ・ボレル変換の共同研究を公刊した。田原は複素領域で特異点をもつ非線型偏微分方程式の正則解と特異解を研究し、第36回谷口シンポジュームで発表した。これに関する一連の研究を英文の単行本として共著で出版した。吉野は半平面の直積の上で定義され、ある整数論的な条件を満たす指数型正則関数の形の研究を公刊した。またディジタル信号と解析汎関数の変換を解説する単行本を共緒で公刊した。
3.関連する研究として、幾何学では長友は4元数ケーラー多様体上のASDベクトル束に対し、ペンローズ変換を確立し、コホモロジーの消滅定理を証明する研究を公刊した。関口は付値環のつくる局所環空間の微分形式のつくる層の代数幾何学的研究を行い公刊した。斎藤は陰関数の数式処理の研究を行って研究集会で発表した。

researchmap

Grant amount：\1100000 （ Direct Cost: \1100000 ）

3次元コンパクト複素多様体で3次元射影空間内の直線の近傍と正則同型な領域を含む多様体(Class Lの多様体1982年)に関して今年度は次のことを研究することが目標であった。
1.Ωの補集合が解析的集合Eになる事を仮定すると、この補集合は幾つかの超曲面の和集合になるが、このようなEは低次元解析的集合への置き換え操作によって、もとのClassLの多様体を、直線が動きうる範囲Ωが全体空間になるようなClassLの多様体に改変出来ると思う。その可能性を研究したい。
2.複素解析的な幾何学構造(及び対数的幾何学構造)を仮定したときの特性類の間に成立する公式の一般化。
3.実双曲多様体上のflat twistor空間の幾何学的および函数論的な性質の研究。
まず第1に関しては、現在進行中であるが、まだきちんとした結果は得られていない。来年度も引き続いて考察する予定である。特にEが非特異かつ既約になる場合に完全な決定をしたい。第2に関しては、射影的、及び共形的複素葉層構造の場合について特性類の公式を得た(未発表)。これは、射影的、及び共形的複素構造の場合について公式の拡張であって、微分可能多様体論におけるΓ-葉層構造の特性類の公式の類似である。第3については、残念ながら進展が無かった。
当初の目標とは外れるが、現在、Riemann面におけるSchottky空間の類似を複素3次元で構成することを研究中である。(2n-1)次元複素射影空間に対して複素解析的にハンドルを付けることができる。g個ハンドルを付けて出来るコンパクト複素多様体(Schottky型の多様体)をM_-gとすると、そのKuranisi空間は非特異で{4n^2-1}(g-1)+h^0である(ただし、h^0は正則ベクトル場の次元で7以下。nが大きいとき、一般にはh^0=0)。このような多様体のmuduli空間のコンパクト化は興味がある。non-Kaehlerであるから、通常の方法が使えないがGerrizen, L., Herrlich, F.等の研究に注目してその高次元化の方向で研究をはじめた。

researchmap