配分額：4810000円 （ 直接経費：3700000円 、 間接経費：1110000円 ）

研究の目的は可換環論を特異点の理論に応用する事，また逆に可換環論の種々の性質を，特異点論の代数幾何的な言葉で記述し，幾何学的方法を用いて可換環論の成果を得る事だった．
この研究で得られた主な結果とは，1. F-pure 環の次元と埋め込み次元を与えた場合に重複度の上限を与えた．2. ２次元の有理特異点の Ulrich ideal の分類を行った等，幾何学と可換環論との相互の関係をうまく使った成果を得ることができた．．

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配分額：4160000円 （ 直接経費：3200000円 、 間接経費：960000円 ）

正標数の体上の簡約群 G の多項式環 S への線型な作用について、もし S が G の表現とし良いフィルター付けを持てば、G のパラボリック部分群 P のユニポテント根基 U_P による不変式環 S^{U_P} は有限生成 UFD で強F正則、特に Gorenstein であることを証明した他、正標数の可換環の性質を論じたり、宮崎充弘氏との共同研究でG素イデアル、G準素Gイデアルを論じる等の研究を行った. これらは代数学における可換環論、不変式論の研究となる.

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配分額：4160000円 （ 直接経費：3200000円 、 間接経費：960000円 ）

ホモロジー有界な非有界鎖複体のホモトピー圏と有界鎖複体のホモトピー圏によるその商圏を研究した。Iwanaga-Gorenstein環R上の有限生成射影加群のホモトピー圏の場合には、その商圏には、recollementsの三角形構造という部分圏の構造が存在することを示した。その応用として、2次上三角行列環T_2(R)上のCohen-Macaulay加群の安定圏と三角圏同値になることを示すことができた。

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資金種別：競争的資金

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配分額：4290000円 （ 直接経費：3300000円 、 間接経費：990000円 ）

代数幾何学の,特に極小モデル理論に現れる特異点を正標数の手法を用いて解析した.具体的には,1.F-thresholdの概念を用いて特異点のイデアルの重複度に関する不等式の予想し,いくつかの場合にそれを証明した.2.正規射影多様体から与えられたa不変量を持つGorenstein次数付き環が豊富にできることを示した.3.多重次数付き環からできる環を研究し,有理特異点となるための条件を与え,因子群に関する新しい例を構成した.

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配分額：4290000円 （ 直接経費：3300000円 、 間接経費：990000円 ）

局所環の重複度の理論は可換環論における古典的理論として重要な役割を果たしてきたが,適用できるイデアルは極大イデアルのベキ乗を含むものに限られていた.そこで「j-重複度」という,より一般化された不変量が導入されたのだが,具体的に与えられたイデアルに対してその値を計算することには多く困難が伴っていた.本研究ではこの問題に取り組み,実用的な計算法を確立することができた.

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配分額：4420000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：1020000円 ）

完全環の加群の安定圏に於いてコンパクト対象であることと有限生成加群であることは同値であることを示し、自己入射多元環の加群の安定圏が三角圏であることを使い、安定圏での森田の理論の類似が成り立つことを示した。三角圏のn個の部分圏に対し、連続回帰的なstable t-structureとなっているという新概念を提示した。これが連続回帰的なrecollementが得られることと同値であることを示した。

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資金種別：競争的資金

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配分額：4150000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：750000円 ）

可換環に群スキームGが作用するときに、Gイデアルに各種の閉包操作を施して再びGイデアルになるか、という問題を考え、いくつかの場合に成果を得た。また、同変局所コホモロジーについて基礎的研究をし、Matlis双対性、局所双対性の同変版を得た。また、素イデアル、準素イデアルの同変版を定義し、準素分解の存在と一意性の同変版を得た。また、Matijevic-Roberts型定理を各種の正標数の特異点に拡張することに成功した。

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配分額：8600000円 （ 直接経費：7700000円 、 間接経費：900000円 ）

代数多様体の中には、曲線、K3曲面とファノ多様体という3つの良い族がある.これらは単独でも興味深いが、互いにモジュライという関係で繋がっていることを観察することによって、より深い理解に到達できると思う.今回の研究課題では、フェアリンデ型公式との関係や不変式環への応用から研究を始めて、エンリケス曲面の位数2のある種の自己同型や偏極K3曲面のモジュライの単有理性問題への応用を研究した.また、Mumfordのpathologyとして有名な現象をよく理解するために、3次元多様体内の曲線の変形に対する障害類が消えないための充分条件についても研究した.

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配分額：3860000円 （ 直接経費：3500000円 、 間接経費：360000円 ）

標数p>0の可換環論においてFrobenius写像は大変強力で,イデアルのtight closureの概念や,Frobenius写像の分解を用いて,様々な概念が定義され,とても多彩な数学の世界を形作っている.一方,標数0の特異点においても,正標数への還元を通じて,Frobenius写像は強力な武器になっている.
本研究はそのようなFrobenius写像の種々の応用を可換環論,特異点論において研究し,次のような成果を得た.
1.F-threshoId;その可換環論への応用と重複度予想
F-thresholdの概念は標数p>0の環Aの2つのイデアルの組(I,a)に対して定義される.今まではこの概念は正則局所環のみに対して研究されたが,一般の環においても重要な意味をもち,整閉包,tight closureと深い関系をもつ重要な概念であるごとがわかって来た.また,重複度とF-thresholdとの間に興味深い不等式が発見されて,いろいろの場合に証明された.
2.多重次数付き環とF-有理性
多重次数付き環とその対角次数の部分環の性質は興味深い新しい研究対象である.渡辺・蔵野はA.Singh,佐藤栄一との共著の論文で,そのような環の有理性,F-有理性の判定を行った.また,ブロー・アップの座標環を対角次数付き環と見なすことによって,ブローアップの空間のコホモロジー群の計算法を与え,更に離散因子類群の新しい例を提示した.
3.Totally reflexiveな加群の幾何的構成.渡辺は高橋亮との共著の論文で曲線の幾何を用いて,自明でないTotally reflexiveな加群の例を大量に与えた

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配分額：3600000円 （ 直接経費：3600000円 ）

アルティン環R上の有限生成加群の有界導来圏のGrothendieck群K_0(D^b(modR))は、その非同型な既約加群の個数をランクとする自由アーベル群になる。しかしながら非有界導来圏D(modR)の場合、そのGrothendieck群がどのようになっているかは不明であった。そこで、我々は完全鎖複体の一般的概念である、三角圏でのcompact ob jectsや生成系の概念を用いて、anadditive T-set of classical generatorsという概念を導入し、アルティン環Rの非同型単純加群の個数を刀としたとき、上に有界な導来圏のGrothendieck群K_0(D^-(modR))と下に有界な導来圏のGrothendieck群K_0(D^+(modR))は(Z{T, T^<-1>}/(1+T))^nと群同型、有界導来圏のGrothendieck群K_0(D^b(modR))は(Z[T, T^<-1>]/(1+T))^nと群同型であることが解った。その結果、D^-(modR)、D^+(modR)、D(modR)のいずれのGrothendieck群も自明であることを解明した。非可換連接環Rにおいて傾斜加群Tがあるとき、"T-分解O->T_n->…->T_1->T_0->M->Oを持つ加群Mの極小入射分解0->M->E^0(M)->E^1(M)->…のi番目に出てくる入射加群E^i(M)に対して、End_R(T)加群Hom_R(T, E^i(M))の平坦次元がi+n以下である"という条件とアウスランダー条件と同値である事を示した。傾斜対象Tを持つ射影代数多様体を調べることによって、自己導来同値群と道来ピカール群と同型になる有限次元多元環を検証した。
正則局所環の剰余体の第二シジジー加群のリース多元環がGorensteinfactoria1であることを証明した。Chow群上にnumerical同値という同値関係が定義でき、ある条件のもとで割ったものが有理数体上の有限次元ベクトル空間になることを示した。また、正標数の正規局所環Aのe回のフロベニウス射によって得られた加群^eAと、Aの標準加群KAのデターミナントの関係についてのある公式を導いた。Q-ゴーレンシュタイン環と有限生成加群のヒルベルト・クンツ関数の第二項の消滅定理を示すことができた。

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配分額：3700000円 （ 直接経費：3700000円 ）

本研究は,イデアルと加群に随伴する様々な次数代数の解析を通して,基礎環の環構造を解明することを目的に実施された。先行する諸結果を統合する理論の構築を目的に,Noether局所環A内のイデアルIに対し,そのRees代数R(I),随伴次数環G(I),fiber cone F(I)のGorenstein性・Cohen-Macaulay性・Buchsbaum性などの環構造を判定する実際的方法と具体例の一般的構成法の開発を目指し,様々な方向からのアプローチを試みた。特筆すべきは,正則局所環内の高さ2の完全交差イデアルのleading idealに関するW.Heinzer,Mee-Kyoung Kimとの米・韓・日の国際共同研究に大きな進展があったことである。また,Gorenstein局所環内のquasi-socle ideal(擬巴系イデアルとも言う)の構造解析は,高橋亮・松岡直之との共同研究の結果,随伴次数環やRees代数,reduction数解析で思いがけない発展があり,今後の課題としても楽しみなものの一つになった。これらの研究成果は,印刷が決定したものの他に,下記のpreprint(投稿中)に纏めてある。
[1]S.Goto,N.Matsuoka,and R.Takahashi,Quasi-socle ideals in Gorenstein local rings,Preprint 2006
[2]S.Goto,F.Hayasaka,and R.Takahashi,On vanishing of certain Ext modules,Preprint 2006

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資金種別：競争的資金

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配分額：3600000円 （ 直接経費：3600000円 ）

スキームの上の作用のある準連接層の双対性の類似として、形式的スキームの上での作用のある双対性を考察した。その結果、次を証明した。Sが強鎖状かつ永田なネータースキーム、f:X→Yは全射でuniversally openなSスキームのS射とする。もしXがS上有限型でYが被約ならば、YはS上有限型である。このことを応用して、Fogartyによる幾何学的商の有限性について、新しい証明を得た。また、別の応用として、Sがネータースキーム、f:X→YがSスキームのS射で、忠実平坦、XがS上有限型であれば、YはS上有限型であることを証明した。後に一般化して、忠実平坦性は純という性質に弱められることが分かった。また、Lauritzen, Raben-Pederesen, ThomsenによるSchubert多様体の大域的F正則性の証明の別証明が得られた。また、De ConciniとProcesiが70年代に考えた不変式環の計算について、幾何学的な別証明が出来た。また、不変式環をとる元の環を多項式環から行列式環に一般化することに成功した。また、与えられたDedekind整域R上のアフィン平坦代数群Gの平坦R代数Bへの作用について、ネーターR代数AとA→B^Gが与えられ、任意のR代数である代数的閉体Kに対して誘導される準同型Kotimes A→(Kotimes B)^{Kotimes G}が同型であれば、任意のR代数Sに対して自然な射S otimes A→(Sotimes B)^{Sotimes G}が同型であることを証明した。

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配分額：5800000円 （ 直接経費：5800000円 ）

岩澤理論の中心をなすのは岩澤主予想という関係であり、岩澤加群のような代数的な対象の特性イデアルが本質的にp進L関数によって生成される、という形で定式化されている。すなわち、ガロア群の作用の特性多項式やイデアル類群のような数論的対象物の位数がゼータ関数によって決まる、ということを述べている。われわれのこの研究では、(広い意味での)p進L関数が特性多項式や位数以上の細かい情報を持つ、ということを、さまざまな設定で証明することができた。もう少し具体的には、Fittingイデアルという特性イデアルより詳しい情報をもつイデアルもp進L関数から決まることを証明した。
まず、有限次虚abel体Kに対し、Stickelbergerイデアルを今までのIwasawa-Sinnottとは違う方法で定義し、このイデアルがKのイデアル類群の0次のFittingイデアルに等しい、という予想を提示した。Stickelbergerイデアルを私たちはKの(適切に選ばれた)部分体や拡大体のStickelberger元から作られるイデアルとして定義したので、このイデアルは解析的な対象であり、この予想は普通の岩澤主予想の精密化になる。この予想をかなりの場合に証明し、またKの円分Z_{p}拡大上に考える岩澤加群に対しても同様の予想を提示し、それを完全に証明した。
次に、Kolyvagin Rubinによるabel体のイデアル類群の構造定理をCM体に一般化した。ここでは、イデアル類群の高次のFittingイデアルがStickelberger元を起源にもつもので完全に記述できる、ということを証明し、上で述べた考え方で岩澤理論が精密化できることの典型的な例を与えた。

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配分額：2800000円 （ 直接経費：2800000円 ）

多元環Aの巾等元eに対し、recollement {D_<A/AeA> (A), D(A), D(eAe)}構造とそれを導く完全三角形ξ(e)を研究した。その上で、2つの多元環上のrecollement {D_<A/AeA> (A), D(A), D(eAe)}とrecollement {D_<B/BfB> (B), D(B), D(fBf)}の間にrecollement構造を保存して導来圏同値を引き起こすrecollement tilting鎖複体の条件を決定することが出来た。D_<A/AeA> (A)とD_<B/BfB> (B)、D(A)とD(B)、D(eAe)とD(fBf)のそれぞれの導来圏同値は完全三角形ξ(e)から構成され、特に非有界鎖複体ΔがD_<A/AeA> (A)とD_<B/BfB (B)の導来圏同値を導くことを示した。これらの諸結果を対称多元環Aの場合に適用した。すなわち、対称多元環A, Bとそれぞれの巾等元e, fに対し、D(eAe)とD(fBf)の間に導来圏同値を導くtilting鎖複体が与えられたとき、recollement {D_<A/AeA> (A), D(A), D(eAe)}とrecollement {D_<B/BfB> (B), D(B), D(fBf)}の間に導来圏同値を導くrecollement tilting鎖複体の族{T_n}_<n【greater than or equal】0>を構成することに成功した。この応用として、対称多元環上の功の長さ2の部分tilting鎖複体がtilting鎖複体になる必要十分条件は、その直和因子の個数が多元環のGrothendieck群の生成元の個数に一致すると言う所謂tilting加群でのBongartzの補題の鎖複体版を得ることが出来た。さらに、上の構成方法で出来たrecollement tilting鎖複体の族{T_n}_<n【greater than or equal】0>での導来圏同値は、A/AeAとB/BfBの間で森田同値を導くことが分かった。その他関連する結果として、ネーター局所環とその完備化の間の平坦射によって誘導される有限生成加群のグロタンディェク群の間の射がいつ単射になるかを研究した。グラスマン多様体の射影空間への埋入によるアフィンコーンがいつRoberts環になるかを決定した。正規射影多様体の因子類群と、その(正規な)斉次座標環の因子類群の関係を一般化した公式を証明した。準フロベニウス拡大A/Bに対して、Bがnon-singularのとき、Aが自己入射的であれば、Bも自己入射的であることを示した。また、Bが入射的かつそのsocleが0でないような右イデアルをもつならば、Aも入射的かつそのsocleが0でないような右イデアルを持つことを示した。

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配分額：7100000円 （ 直接経費：7100000円 ）

研究期間内に多くの興味深い結果が得られたが,主なものは以下の通りである。
1.乗数イデアル(multiplier ideal)およびその周辺の結果.
・Lipman-Watanabeは2次元のlog terminal局所環のすべての整閉イデアルは乗数イデアルであることを示した.
・原伸生と吉田健一はイデアルのtight closureの一般化を考えることにより,乗数イデアルを標数p>0の代数的な方法で求めることを可能にした.
・渡辺と高木俊輔は乗数イデアルのsubadditivityの性質を2次元でlog terminalにまで拡張し,3次元のトーリックイデアルに於いて反例を構成した.
・渡辺・高木は代数幾何学のlc thresholdに対応する標数p>0のF-pure thresholdの概念を確立し,分類,可換環論との関係に於ていろいろの興味深い結果を得た.
2.Hilbert-Kunz重複度およびその周辺
・渡辺・吉田は3次元以下の環でHK重複度が正則の次に小さい環の分類を行った.
・渡辺・吉田は"minimal relative HK重複度"の概念を確立し,商特異点に対し,具体的な値を求めた.Hunekeなどによって,この値はFrobenius写像を通して環を加群と見たときの分解と関係することがわかった.またHK重複度とChow環との新しい対応も知れれている.
なお,当該期間に於いてこの研究により,2001年から2004年の可換環論シンポジウム,2002年の横浜の"Commutative Algebra"国際シンポジウムなどを通じて,多くの交流を図り,その際の討論によって多くの興味深い結果が得られている.

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配分額：3700000円 （ 直接経費：3700000円 ）

AをNoether環とする.高さ正のAのイデアルIがあってIのRees代数R(I)がCohen-Macaulay環であるときR(I)をAの算術的Cohen-Macaulay化という.本研究ではAが算術的Cohen-Macaulay化を持つための必要十分条件を得た.すなわちAが算術的Cohen-Macaulay化を持つこととAが次の五条件を満たすことが同値.
(C1)Aは強鎖状
(C2)任意のAの局所化の形式的ファイバーはすべてCohen-Macaulay
(C3)任意の有限生成A代数BのCohen-Macaulay軌跡はSpec Bの開集合
(QU)任意のAの素イデアルの組p, qに対しp⊂qならばht q=ht q/p+ht p
(UM)Aは埋入素因子を持たない.
この系としてAがCohen-Macaulay環の準同型像であることとAが(C1)-(C3)と
(CD)Aは余次元関数を持つ
を満たすことが同値であることがわかった.

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配分額：3800000円 （ 直接経費：3800000円 ）

この研究は,次の課題とこれに密接に関連する課題について,期間内に成果を挙げることを目標とした。
(1)Rees代数と随伴次数環のGorenstein性を判定する簡便かつ実際的な方法を開発し,その判定法に基づく豊かな具体例を提供する。
(2)随伴次数環のGorenstein性に関連して,Gorenstein局所環内の「優良イデアル」の理論を整備。充実させる。
既に,Gorenstein局所環内の「優良イデアル」に関する予備的な研究が完成した。次元dのGorenstein局所環(A, m)内のm-準素イデアルIは,その随伴次数環G(I)がGorenstein環であってa-不変量について等式a(G(I)=1-dが成立つとき「優良である」と呼ぶ。優良イデアルは,Gorenstein局所環内でパラメーター系で生成されたイデアルに次いで特殊であり,優良イデアルの分布状況と構造解析からは,基礎環A自身の構造に関する豊かな情報が期待できるが,体系的な研究は他に類例を見ない。分担者の協力を得て,優良イデアルの理論を深め,関連する問題の解明にも力を注いだ。
他に,関連する研究課題として,整閉イデアルとこれに付随する素イデアルの構造に関して,想定外の体系的な深い理論の可能性が見い出された。その応用として,Noether局所環内のパラメターイデアルとsocleに関する端麗な解析が可能となった。
2003年6月にはイタリアとポルトガルで,計2回可換環論の国際会議が開催される。出席して成果の発表を行うと同時に,海外に於けるこの分野の研究の進捗状況を探った。国内研究集会でも計3回の講演を行い,成果の発表を行った。

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資金種別：競争的資金

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配分額：1100000円 （ 直接経費：1100000円 ）

可換環、代数幾何学でのPiacrd群を、非可換多元環の導来圏のauto-equivalencesを導き出す双傾斜鎖複体の同型類のなす群に拡張した導来Picard群をYekutieliが導入した。我々は、全ての遺伝多元環の導来Picard群の組み合わせ論的な決定方法を示し、Dynkin、Affine quiversに対し導来Picard群を具体的に決定した。さらに、Kontsevich、Rosenbergが導入したn次元非可換射影空間において、連接層の作る導来Picard群が決定することができた。また、Triangulated Categoryにおいて、compact object CがHom(C, C[n])=0(n>0)を満たすとき、Beilinson-Bernstein-Deligneが導入したt-structureを導き出すことを示した。これらを多元環の加群の導来圏に適用することにより、tilting加群におけるBrenner-Butlerの定理をtilting鎖複体の場合まで拡張することができ、さらに加群のcategoryにおいてある条件を満たすtorsion theoryと項の長さ2のtilting鎖複体が1対1対応することを示した。
その他関連する結果として、Small Macaulay modules予想が正しければ、test加群がいつも存在することを示し、ネーター局所環とその完備化の間の射によって誘導される有限生成加群のグロタンディェク群の間の射が、最初の環が以下の3条件のどれかを充たせば単射であることを証明した。さらに、次数環のChow群が、斉次素イデアルと斉次元によって決まることを証明した。また、自己入射的多元環に関して右non-singular環Bの準フロベニウス拡大環Aに対して、Aが右自己入射的ならば、Bは右自己入射的であることを示した。

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配分額：3600000円 （ 直接経費：3600000円 ）

この研究では、局所環AのフィルトレーションF : A=F_0⊇F_1⊇F_2⊇・・・に附随する次数付き環G(F)=_【symmetry】_<n【greater than or equal】0>F_n/F_<n+1>のホモロジカルな性質を中心に調べた。その為に、従来イデアルに対して定義されていた解析的差異(analytic deviation)という概念を一般のフィルトレーションに対して拡張し、その不変量を尺度として分析を進めるという方針を採った。各年度ごとの進行は以下のようなものであり、概ね、当初の計画に沿った研究が達成できたと言える。
1.(平成11年度)reducionの概念を中心とした基礎的部分の整理とフィルトレーションがequimultipleな場合の理論の構成を行った。
2.(平成12年度)局所環のフィルトレーションFで解析的差異が1のものが与えられたとき、附随する次数付き環G(F)のCohen-Macaulay性を判定する実用的方法を見出した。
3.(平成13年度)局所環のフィルトレーションFで解析的差異が1以下のものが与えられたとき、付随する次数付環G(F)のCohen-Macaulay性を判定する方法が、前年度までの研究成果として得られたので、その判定法を適用することにより、様々なフィルトレーションの分析を行った。
4.(平成14年度)本研究課題の最終年度にあたり、これまでに得られた結果を統合し、解析的差異が一般のフィルトレーションに関する理論を構築した。注目すべき点は、随伴次数環のdepthを評価する為の条件が局所化で保たれるということにあり、それ故にreductionの生成元の個数lについての帰納法が可能になる。又、l-htIは解析的差異に対応する量と見ることができる。

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配分額：3300000円 （ 直接経費：3300000円 ）

楕円曲線の岩澤理論はイデアル類群のかわりにSelmer群やTate Shafarevich群を対象として、B.Mazurによって1970年代に創り始められた。その後P進L関数の理論が整備され、楕円曲線がPの上の素点でordinary reduction を持つ場合にはSelmer群とP進L関数の間に満足のいく岩澤理論が作られている。(全体像は予想であり証明ができているのは特別な場合だけであるが)。一方ordinaryの過程をはずすとSelmer群がZp拡大の中でどのように大きくなるかについては長い間何もわかっていなかった。我々の研究においてはまずEが有理数体上に定義された楕円曲線でPでsupersingular reductionを持つとき、主にL関数の値L(E.1)/ΩEがPで割れないという仮定の下にSelmer群およびTate Shafarevich群のP成分(これらはこの仮定の下に一致する)のGalois加群として構造を決定した。特に有理数体の円分Zp-拡大の中間体上のTate Shafarevich群のP成分の位数を完全に決定した。これらはordinaryのときの岩澤不変量が整数だったのに対して、分数の不変量を使って表すことができる。この特殊例から出発して、一般にTate Shjafarevich群の位数が円分Zp拡大においてどのようにふえるかについてBirch, Swinnerton-Dyer予想と両立する予想を作ることができた。またこのような現象の背後にあるのはdistribution relationと局所体のMordell-Weil群のGalois加群としても構造であることをつきとめた。また円分体上では加藤和也氏によって構成されたオイラーシステム(ゼータ元)をMazurとTateが構成したモジュラー元に写す写像が構成できることを示した。この写像により岩澤理論のP進解析的側面とP進代数的側面を結びつけることができる。

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配分額：3900000円 （ 直接経費：3900000円 ）

1.Galois被覆の構成問題:徳永はGalois群が4次対称群及び4次交代群であるGalois被覆の構成の研究を行った.1999年度にある程度の結果を得たが,2000年度はこれをこれを改良した.この結果については都立大学における複素幾何セミナー及び数理研における研究集会「基本群と代数関数」において報告した.さらに,これらの成果を論文Galois covers for 〓_4 and 〓_4 and their applicationにまとめた.これは現在,Osaka J.Math.に投稿中である.さらに有限線型群の不変式と関連したversal Galois被覆なるものの研究を開始した.これにより,5次交代群をGalois群とするGalois被覆の研究が大きく進むものと考えられる.論文は現在準備中である.
2.開代数多様体のトポロジー:岡は(2,3)torus曲線の補空間の研究,島田は補空間の基本群の新たな不変量の研究,徳永は,新しいZariski pairの例を与えた.
3.特異点理論:岡及び大学院生Pho Duc Taiはnon-tame(2,3)torus曲線の特異点集合の分類をほぼ完成させた.大きな捻れ群を持つ楕円曲線の族を構成した.これらの結果は印刷中及び投稿中である.
4.Galois被覆に関連する基本的な研究:蔵野,小駒は可換環論の研究を行いそれぞれ,新たな結果を得た.また,土基は非可換代数幾何学の基礎付けに関する研究を行った.その論文は現在準備中である.

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配分額：3300000円 （ 直接経費：3300000円 ）

一般標数(又はより一般に混合標数)の特異点解消が目的であるが、この科学研究費補助金を有効に使うことによって、研究代表者・分担者はあらゆる方向からアプローチによって様々な新しい結果を得た。蔵野(代表者)は、Gillet-SouleのAdams作用素の言葉でlocalized Chern characterを記述し、それを用いてDutta Multiplicityの正値性予想を等標数の場合に解決した。これにより、等標数のRoberts環上で(片方がCohen-Macaulay加群である場合に)Serre予想の正値性と同じことが証明された。川崎(分担者)は、ネーター・スキームに対してCohen-Macaulay化が存在することを証明した。これによって、特異点解消問題を議論するときは、Cohen-Macaulayスキームから出発すればよいことがわかった。また、これを使ってSharp予想を肯定的に解決した。伊藤(分担者)は、3次元代数多様体に対するMcKay対応を構成した。岡(分担者)は、Bogomolov-de Jongの定理で最終的に有効に働いたトーリック幾何の特異点解消を通して、flex curveへの応用をみつけた。寺尾(分担者)は、超平面配置によりモノドロミーの計算法の立場から新しい手法を見つけた。中村(分担者)は、計算数学の立場から、これに関係のある問題の具体的計算がどの程度コンピュータで可能かを調べた。竹田(分担者)は、Grothendieckのstandard予想の研究をした。與倉(分担者)は、Fulton-MacpPhersonの同変理論を用いて、ある種の写像に対してMilnor類の引き戻しを考察した。石川(分担者)は、以前、可展面の微分位相的分類を与えたが、そこで扱えないような非常に退化した曲線に対しても位相型なら決定できることを発見し、定式化し、証明した。福井(分担者)は、特異点論で重要な意味を持つある環が、Cohen-Macaulay環になることを証明した。

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配分額：3100000円 （ 直接経費：3100000円 ）

この研究課題について、我が国の研究水準はかなり低いレヴェルにある.計算機代数が非常に発展性のある分野であり、数学全般のみならず、工学における種々の分野にも広い応用を持っていることが漸く知られるようになった、というあたりが我が国の現状である.この実状を踏まえて、この分野の現状の解説と今後の研究課題についての報告を雑誌「数学のたのしみ」のフォーラムとして特集し、4篇の論文として纏めた.さらに、「多項式環とその周辺」という表題で、研究会を開催し、純粋に数学の専門家のみならず、計算機代数および符号理論を計算機上で実現する研究を遂行している企業の研究者にも参加してもらい、互いの情報交換と今後の方向についての検討を行った.なかでも、三浦晋示氏(ソニー)と野呂正行氏(富士通)にはそれぞれ
符号とグレブナー基底
計算機上での多項式の演算 -因数分解、グレブナー基底、準素分解
という表題で講演してもらい、数学理論が計算機上でどのように実現されるかについて理解を深めた.数学者側からは単項敷きイデアルなどの普遍量の計算についての報告など、グレブナー基底の理論的応用に関心が集まった.
また、代数幾何学への応用を目指して、代数幾何学ミニシンポジウムを主催して、代数幾何学者のこの分野への理解を図った.
一年間の研究の結果、この分野については日本の研究の水準を上げていく努力を続けていくべきであることがはっきりした.数学として可換環論、代数幾何学の基礎理論の一環として、あるいはアルゴリズムという視点からの応用を発展させつつ、一方で計算機科学、工業技術への幅広い応用が見込まれる.

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配分額：6800000円 （ 直接経費：6800000円 ）

研究実績は以下の通りである。(主なものを3つ挙げる)
(1) まず、鏡映群から自然に定まる超平面配置に対して、次の結果を得た。即ちこれらの超平面配置に2重に接触するベクトル場の作る加群が自由基底をもつ(Solomon-Terao)。この結果は、最近米国を中心に活発に研究されているShi型超平面配置に関するStauley予想とも関連した著しい結果である。また、上記加群の自由基底を具体的に求めることにも成功した。自由基底の構成は齋藤微分に深く関連する。
(2) 組み合わせ的同値な超平面配置の族に対して様々な退化が考えられるが、そのGauss-Manin接続が対数的極をもつことを示した。これは専門家の間ではある程度予想されていたが、任意の組み合わせ型をもつ超平面配置については証明されていなかった。この結果は「超平面配置と超幾何積分」(寺尾)に報告されている。
(3) 鏡映面配置に極をもつ対数的微分形式を反不変微分形式の用語で特徴づけることに成功した(Shepler-Terao)ことは不変式論の見地から対数的形式を解釈した結果である。

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配分額：3000000円 （ 直接経費：3000000円 ）

オイラーシステムの考え方を応用することにより、さまざまな結果を得た。まず総実対数体に1の巾根をすべて添加した体の最大実部分体のイデアル類群がtrivialになることを示した。すなわち、総実代数体に1の巾根をつけ加えた体の総実な部分体のイデアルは適当な1の巾根をつけ加える拡大体上で考えることによって単項化する。特に実アーベル体のイデアルはそれを含む適当な実アーベル体で単項化することがわかる。またちがう言葉で言えば、有理数体にすべての正の整数nについてcos(2π)/nをつけ加えた体のイデアル類軍はtrivialになることが示せたことになる。またこの考え方を虚2次体に適用することにより虚2次体を含む体の最大アーベル拡大のイデアル類群はtrivialとなることを証明した。特に虚2次体の最大アーベル拡大のイデアル群はtrivialになる。次にDeligne,Souleのcyclotomic elementsはオイラーシステムをなすが、この元を使って実アーベル体のイデアル類群に関するgreenberg予想が正しいことを確認する簡単な方法があることを見つけた。そして実際に計算機を使った数値計算により多くの実アーベル体でイデアル類群に関するGreennbergの予想が正しいことを小さな素数に対して確かめた。

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配分額：3000000円 （ 直接経費：3000000円 ）

可換環、代数幾何学に於ける双対鎖複体の概念を非可換ネーター環上に拡張し、双対鎖複体は全ての直既約入射加群を含むという代数幾何学に於けるresidual性が非可換環上でも成り立つことを示した。さらに双対鎖複体の存在と、導来圏間の双対性の存在の同値性が示すことが出来、導来圏での森田双対理論の存在を証明した。そこで得られた結果、方法を用いて我々は、可換Gorenstein環の非可換環への拡張である、非可換Gorenstein環、Auslander-Gorenstein環における入射分解の最終項のに現れる直既約入射加群の研究を主に行い、非可換Gorenstein環の自入射次元と同じ入射次元を持つ加群の入射分解最終項に出てくる直既約入射加群は、環自身の入射分解の最終項にすべて現れるという加群圏での可換Goreostein環と同じ性質を持つことを示した。特に、Auslande-Gorenstein環の場合には、その最終項に出てくる直既約入射加群は環の極大idealに対応していることが分かった。
他に次のような関連する成果を得た.
1) 可換環において、Serreの交点数に関する予想の成立と同値な条件を与え、そのことより導かれる正則局所環の素イデアルのsymbolic powerの性質を解明した。また、Adams operationとlocalized Chern characterの関係を見つけ、そのことを使って、標数0の場合にDutta multiplicityの正値性を証明した。(蔵野を中心とする。)
2) 非可換環の自己入射性に関して、Lambek捩れ理論による商圏から特徴付けをすることに成功した。また、完全環において局所的森田双対理論を使って、直既約射影加群の入射性の判足を行った。(星野を中心とする。)
3) Bose場と相互作用を持つ量子系の粒子に関する逆問題を解き、無限体積におけるカノニカル相関函数の長時間挙動の性質を解明し、スピン・ボソンのハミルトニアンの最低固有エネルギーを、その表現を使うことで、パラメータを持った公式で与えられる必要十分条件を示すことができた。(平成10年9月30日まで研究分担者であった、廣川を中心とする。)

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配分額：1900000円 （ 直接経費：1900000円 ）

新たに国内外で収集したソフトとデータはKANTグループ(ベルリン工科大学)による「KASH(KANTのシェル版)」,LiDIAグループ(ザ-ルランド大学)による「LiDIA」,Victor Shoupによる「NTL(Number Theory Library)」等の数論のツール,PARIグループによる「数体の数表(次数7以下)」,長谷川雄二(早稲田大学)のMathematicaによる「new formの表」等である.我々が新たに計算したのは「判別式が負の三次体とそのガロア閉包の単数群と類数」,「二次多項式の根となる素数を法とする原始根」,「一般ルカ数列に現われる平方数」などである.また,裏面の論文に加えて,1996年7月30日にエゲル(ハンガリ)で開催された整数論国際会議で「Squares in binary recurence sequences(二項再帰数列に現われる平方数」を,1996年7月24日に群馬大学工学部で開催された情報処理学会アルゴリズム研究会で「2部グラフの辺彩色を列挙するアルゴリズムの計算時間の解析」を講演する等して成果を発表した.この他に我々の作成したTNT-ML(Tools on Number Theory メイリングリスト)に記事として「離散対数問題の結果をアナウンス」,「数対篩によるRSA-130の素因数分解の報告」,「階数の高い楕円曲線のアナウンス」等をネットワークを通じて流した.また小川 裕之(大阪大学)の「大阪大学のanonymous ftp開設の告知」,木田 祐司(立教大学),鈴木 治郎(信州大学)の「大きな素数に関するデーターベースの紹介」等が,そこで流された他の重要な記事である.現在TNT-MLに参加しているのは全国で139名であり昨年度末の111名,1992年発足当時の51名から大きく増加している.

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配分額：900000円 （ 直接経費：900000円 ）

論文リストにあるJournal of Algebraに掲載予定の論文(On Macaulayfication obtained by a blow-up・・・)の中で次の様なことがわかった。
Aberbach-Huneke-Smithによってtight closureの理論がMacaulayficationに応用があることがわかりAberbachによりそれが更に拡張されたが、一般にequi-multipleなイデアルによるblow-upがいつコーエン・マコーレー・スキームになるか判定法があることがわかった。つまり、それがコーエン・マコーレー・スキームになるためには上の論文に書かれている二条件を充たしてないといけないのである。tight closureの理論からでてくるイデアルの場合はその内の一つの条件を充たしていることは簡単に証明できる。もう片方の条件を上のイデアルが一般的に充たすには、Aberbachが付けている新たな条件が必要である。このように私の定理を使うことによりtight closureの理論とコーエン・マコーレー化との関係が明らかになったといえる。また、私の定理はtight closureの理論から出てくるイデアル以外にも極大イデアルに属する準素イデアルの場合などに応用がある。
この論文の結果により、今年度の目標であったことが、かなり達成されたと思う。

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配分額：1900000円 （ 直接経費：1900000円 ）

計上したパーソナルコンピュータ一式はある事情のため納入が年度末ギリギリになってしまった。将来の研究に活用したい。当該研究には数学教室現有のコンピュータを不便を克服しながら利用した。
本年度の研究は思うほど進展しなかったというのが真実である。ブラウワ-群は非常に広範な数学の概念と関連しているために、まず関連した知識を集めることに取り組んだ。一つには古典的な理論である類体論とブラウワ-群の関連を明確に把握しようと努力した。類体論は難解な理論であり、またその記述法に多種あり、ブラウワ-群を使わない記述法と使う記述法とがある。使わない記述法のほうがやや理解しやすく一般の書物ではそちらの方法を取っている。一方、使う記述法のほうは最もエレガントな方法であるが、難解なためそれに言及してある文献は少ない。また言及してあっても筆者以外の人間にも判りやすく書くという形の文献は皆無である。このことが原因で知識を集める作業に思わぬ時間がかかってしまった。もうひとつ、ブラウワ-群に関連した事項で現在の研究のテーマになっている側面の知識の集積に努めた。日本では現在東北大学のグループがこれに取り組んでいる。そのグループの最近の成果には興味を引かれた。
また、以前に取り組んだ成果であるデルペッツォ曲面についてのブラウワ-群の計算と若干の理論の成果を最終的にまとめ、具体的にMathematics of Computation誌上で発表できるメドをつけることができた。
もうひとつ、一般の曲面上のブラウワ-群についての理論的成果をInventiones Mathematicae誌上で発表できるメドをつけることができた。これは本来平成7年度中に発表できたのだが、レフェリーの手違い等に会い、遅れてしまった。1950年代にアメリカの数学者テートが提出した問題に解答を与えたものである。

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配分額：900000円 （ 直接経費：900000円 ）

論文リストにあるTohoku Math.J.に掲載予定の論文(A remark on the Riemann-Roch formula…)の中で次の様なことがわかった。
体上のsmoothな代数多様体のアフィン・コーンの原点での局所環AのスペクトラムSpecA上で、特異スキーム上でのリーマン・ロッホの定理で出てくるリーマン・ロッホ写像τSpecAでのサイクル[A]の像(SpecAのChow群の元)を具体的に記述する方法を見つけた。一般のネーター局所環B上で、Bが完全交差であれば、サイクル[B]のリーマン・ロッホ写像τSpecBによる像は、SpecBのChow群の中のサイクル[SpecB]に一致することが知られているが、BがCohen-Macaulay環であるときは、必ずしもそれは成立しない。とすると、BがGorenstein環であるときに、それは成立するかが、一つの疑問として出てくる。しかし、私の結果より、AがGorenstein環であるが、τSpecA([A])が[SpecA]と一致しない例を構成することができる。特異スキーム上のリーマン・ロッホ写像の計算は大変むずかしいのであるが、この結果により、計算可能な例がいくつも見つかるのである。
今年、目標としていたDutta multiplicityの正値性は証明できていないが、上の結果は、リーマン・ロッホ写像を解析する上で重要なものであるといえる。

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配分額：1200000円 （ 直接経費：1200000円 ）

ガウスの積公式の一般化を行なうことに成功した。これはゲルファント=カプラノフ=ゼレビンスキーの超幾何関数の方向への一般化でありまたこれがモチーフ的に考えられ、有限体上でも類似の式が成り立つことを示した。それらの付随する様体のベッチ数の比較により、ある種の格子点の組み合わせ的な量に関する等式を得た。後半は超平面配置の基本群及びその上のホッジ構造ガロア加群構造に関して研究を行なった。複比同値の概念の重要性を示した。
配置空間の基本群に対しては、ファイブレーションになっていない所での基本群の完全列を示し、最終結果を得た。ガロア群構造に関しては、ハイゼンブルク拡大を見ることにより、新しい拡大の表示を得た。これについては当初、エクスポネントがn=1,・・,7までの計算機による予想が、重要な役割を果たした。

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配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

新たに国内で収集したソフトとデータは 工藤 愛知(長崎大学)のUBASICによる「実 2次体の類数計算」、長尾 孝一(滋賀職業能力開発短期大学校)のC,FORTRAN,REDUCE,PARIによる「ランクの高い楕円曲線の構成」、山村 健(防衛大学校)のCによる「4次 CM体の類数表」等である。我々が新たに計算したのは「素数を法とした最小原始根」、「非正則素数」、「虚2次体のイデアル類群の生成元」、「Del Pezzo曲面の Manin不変量」である。また、裏面の論文に加えて、代数学シンポジウムの講演「最近の計算機時代の理論と応用」(1994年7月28日、愛媛大学)で分野の概要を紹介し、国際シンポジウム Algorithm and Number Theory 講演 「Certain Quartic Fields with Explicit Fundamental Units」 (1994年10月12日、Dagstuhl)等で、これらの成果に基づく研究結果を発表した。この他に我々の作成した TNT-ML(Tools on Number Theoryメイリングリスト)に記事として「PARIの新版のアナウンス」、「新しいライブラリ LiDIAのアナウナス」等をネットワークを通じて流した。また小川 裕之(大阪大学)の「REDUCEの新版の評価」、木田 祐司(立教大学)「UBASICのanonymous ftp開設の告知」、中野 伸と鈴木 浩志(名古屋大学)の「KANT 2.2のインストール」等が、そこで流された他の重要な記事である。現在 TNT-MLに参加しているのは全国で111名であり昨年度末の89名から大きく増加している。

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配分額：1100000円 （ 直接経費：1100000円 ）

昨年における研究計画にあげた課題において、今度は、特に、代数的サイクルに関連する部分、合流型超幾何関数の行列式について進展を見た。代数的サイクルについては、ゲルファント、カプラノフ、ゼレビンスキーによる、超幾何関数の級数表示から由来する関係式に関して、これらの例について、特に研究を行なった。それらの関係式が代数的対応により由来することがわかった。現在この方向での一般化について、トーラス埋め込みの言葉で整理中である。2つ目の合流型超幾何関数の行列式については、斉藤恭司氏によって研究された。オシラトリー積分と関連をもち、さらにヘシアン行列式によりexplicitな表示を持つことが、示された。オシラトリー積分についても、今後の研究課題である。

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配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

昨年における研究計画にあげた課題において、今年は特に代数的サイクルに関連する部分、合流型超幾何関の行列式について、進展を見た。代数的サイクルについてはゲルファント,カプラノフ,ゼレビンスキーによる超幾何関数の級数表示から由来する関係式に関して、これらの例について特に研究を行なった。それらの関係式が代数的対応により由来することがわかった。現在この方向での一般化について、トーラス埋め込みの言葉で整理中である。2つ目の合流型超幾何関数の行列式については斉藤恭司氏によって研究されていたオシラトリー積分と関連をもち、さらに、ヘシアン行列式によりexplicitな表示を持つことが示された。オシラトリー積分についても、今後の研究課題である。

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配分額：3200000円 （ 直接経費：3200000円 ）

本年度は、主として、有理(閠数)体の上への群の作用による不変部分体に関する諸問題の研究を行い、以下に述べるような成果を挙げた。
この方面の未解決の問題の中で、『問題A 体k上の有理体Fの上への有限群Gの線型的作用による不変部分体F^Gはk上の半有理体(あるk上の有理体の中で分離的に閉じた体)であろうか?』は、『Galois理論の逆問題』といわれる100年ほど前から考えられていた代数学における基本的問題との関連から、非常に重要である。問題Aは、『逆問題』との関係では、b=Q(有理数体)の場合が基本的であるが、このときには、整数論と密接に関連するためかなり困難であり、これまでには、ア-ベル群、単純群またはそれらに近い群について、肯定的解答が得られているだけの状況であった。
本年度は、これまでの研究をさらに押し進め、ある種のべき零群、可解群に対して、問題Aの解答が肯定的であることを示した。また、この問題についてこれまでに得られていた諸結果の証明の簡易化を行った。しかし、一般的場合の解決には至らず、来年度以降もさらに研究を継続する予定である。問題Aについての当面の大きな目標は、b=QでGが可解群の場合にこれを解決することである。
有理体Fの上への有限群Gの作用が乗法的である場合(すなわち、整数表現の場合)は、線型的である場合と密接な関係があることが知られている。ところが、Gの乗法的作用による不変部分体F^Gの研究は困難であるため、その重要性にもかかわらず、最も基本的である有理性に関するものも含めて極めて僅かの結果しか知られていなかった。本年度は乗法的作用による不変部分体F^Gについても研究を行い、応用上で重要ないくつかの場合について、有理性の判定を行った。

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配分額：2000000円 （ 直接経費：2000000円 ）

1.有理(関数)体の拡張概念として、近年導入された安定有理体、レトラクト有理体などの研究を行い、不変部分体がこれらの性質をもつような有限群の整数表現について具体的成果を得た。こららの結果は、本来のネ-タ-の問題と同様に、ヒルベルトの既約性定理を通して、代数学の大きな未解決問題の1つである‘ガセア理論の逆問題'と密接に関係する。実際、この場合には、レトラクト有理性よりさらに弱い概念の(半有理性)が最も基本的であって、有理数体上で不変部分体がつねに半有理的であることが示されれば、逆問題が肯定的に解決されることになる。この方向の研究は今後も継続する予定である。
2.体R上の生成的斜体について、‘その中心はR上の有理体であろうか?'という問題は最も重要な未解決の問題である。生成的斜体の中心は、対称群のある種の整数表現から定まる乗法的作用による有理体の不変部分体として表せることが知られている。このことと、以前にア-ベルp群の整数表現に関して得ていた結果とを利用して、この問題について新しい結果を得た。しかしながら、完全な解決は今後の課題である。
3.有限群の整数表現で、階数が小さい(≧3)ものについて、それにより定まる有理体上の乗法的作用による不変部分体の構造を具体的に決定する作業を以前から行っていたが、本年度も計算を続行し、種々の型のものについて、その構造を決定した。これもかなり困難な問題であって、階数が3の場合でも未決定のものが残っており、今後の課題となっている。

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配分額：900000円 （ 直接経費：900000円 ）

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配分額：800000円 （ 直接経費：800000円 ）

半単純代数群の線形な作用によるaffine空間の商空間をaffine空間の閉部分多様体として実現する場合、その最小埋め込みが群表現にどのように反映するかは、Hilbert以来の古典的テーマである。最近、中島により、次のようなことが得られた。
1.正なる与えられた埋め込み余次元をもつ既約商空間の同型類は、有限個であり、それらの表現対にあらわれる最高ウエイトを上から、effectiveに評価できる。
2.完全交叉となる既約商空間の分類の概略
3.ShephardーToddの結果の正標数への一般化
1.の成果は、Lie群による変換群論などに応用をもつものとして、その方面への研究計画を準備中である。2つの分類の完成には、まだ多くの困難がともなう。それらは、古典不変式論の計算が複雑の為に発生しているわけであるが、こうした困難は、従来の不変式論を越える新たな方法の必要性を訴えている。この方面の研究こそ、HilbertーPcpovーKnopkの研究の限界を打ち破るものと思われる。1.2.の成果により、このテーマのプログラムの半分以上を達成したつもりであるが、それにともなって新たな課題が発生していると総括できる。
一方、有限群に関連するものとして、最低、BeukertーHeckmanにより超幾何関数のモノドロミーが分類された。このモノドロミーの不変式を決定できたが、更にある種の微分方程式の鏡映を含む、有限とは限らないモノドロミーの分類とその不変式も決定したい。

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