研究分野
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自然科学一般 / 応用数学、統計数学
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自然科学一般 / 数学基礎 / 数学一般（含確率論・統計数学）(General Mathematics (includes Probability Theory/Statistical Mathematics))
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自然科学一般 / 数理解析学
所属
学部 総合数理学部 専任教授
職名
専任教授
外部リンク
論文
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Hirokazu Ninomiya, Masaharu Taniguchi
Archive for Rational Mechanics and Analysis 249 ( 1 ) 2025年1月
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Example of Turing's instability by equal diffusion 査読
Hirokazu Ninomiya
Journal of Differential Equations 392 255 - 265 2024年5月
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Dynamics of area-preserving curvature flow of convex plane curves with small area in an inhomogeneous medium 査読
Hirokazu Ninomiya
Mathematische Annalen 2024年
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WEAK ENTIRE SOLUTIONS OF REACTION–INTERFACE SYSTEMS 査読
Yan Yu Chen, Hirokazu Ninomiya, Chang Hong Wu
Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B 28 ( 12 ) 6015 - 6033 2023年12月
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Spatial homogenization by perturbation on the complex Ginzburg–Landau equation 査読
Shun Ito, Hirokazu Ninomiya
Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics 40 ( 2 ) 823 - 841 2023年5月
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Localized and Expanding Entire Solutions of Reaction–Diffusion Equations 査読
F. Hamel, H. Ninomiya
Journal of Dynamics and Differential Equations 34 ( 4 ) 2937 - 2974 2022年12月
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Global existence and uniqueness of solutions for one-dimensional reaction-interface systems 査読
Yan Yu Chen, Hirokazu Ninomiya, Chang Hong Wu
Journal of Differential Equations 324 102 - 130 2022年7月
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Global existence of solutions of area-preserving curvature flow of a convex plane curve in an inhomogeneous medium 査読
R. Lui, H. Ninomiya
Partial Differential Equations and Applications 3 ( 3 ) 2022年6月
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STATIONARY SOLUTIONS OF AN AREA-PRESERVING CURVATURE FLOW IN AN INHOMOGENEOUS MEDIUM 査読
R. Lui, H. Ninomiya
Proceedings of the American Mathematical Society 150 ( 5 ) 2095 - 2105 2022年
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A reaction-diffusion approximation of a semilinear wave equation
Hirokazu Ninomiya, Hiroko Yamamoto
Journal of Differential Equations 272 289 - 309 2021年1月
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Comparative analysis of continuum angiogenesis models 査読 国際共著 国際誌
W.D. Martinson, H. Ninomiya, H.M. Byrne, and P.K. Maini
82 ( 4 ) 1 - 34 2021年
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Entire solutions of the Allen–Cahn–Nagumo equation in a multi-dimensional space 招待 査読 国際誌
H. Ninomiya
Discrete and continuous dynamical systems. Ser. A 41 395 - 412 2021年
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Bifurcation from infinity with applications to reaction-diffusion systems 査読 国際誌
C. Aida, C.-N. Chen, K. Kuto and H. Ninomiya
Discrete and continuous dynamical systems. Ser. A 40 ( 6 ) 3031 - 3055 2020年
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Compact traveling waves for anisotropic curvature flow with driving force 査読
H. Monobe, H. Ninomiya
Transactions of the American Mathematical Society, accepted 2020年
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A level set approach for multi-layered interface systems 査読 国際誌
H. Mitake, H. Ninomiya, K. Todoroki
Interface and free boundaries 22 383 - 400 2020年
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Dynamics of interfaces in the Fisher-KPP equation for slowly decaying initial data 査読 国際誌
H. Ninomiya and E. Yanagida
Journal of Differential Equations 267 ( 8 ) 4922 - 4947 2019年10月
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Traveling wave solutions for a bacteria system with density-suppressed motility 査読 国際誌
R. Lui and H. Ninomiya
Discrete and continuous dynamical systems. Ser. B 24 ( 2 ) 931 - 940 2019年2月
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Entire solutions and traveling wave solutions of the Allen-Cahn-Nagumo equation 査読 国際誌
H. Ninomiya
Discrete and continuous dynamical systems. Ser. A 39 2001 - 2019 2019年
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A review on reaction–diffusion approximation
M. Iida, H. Ninomiya, H. Yamamoto
Journal of Elliptic and Parabolic Equations 4 ( 2 ) 565 - 600 2018年12月
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Reaction-diffusion approximation of nonlocal interactions using Jacobi polynomials 査読
H. Ninomiya, Y. Tanaka, H. Yamamoto
Japan J. Indust. Appl. Math. 35 ( 2 ) 613 - 651 2018年
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Entire solutions originating from monotone fronts to the Allen–Cahn equation 査読
Yan-Yu Chen, Jong-Shenq Guo, Hirokazu Ninomiya, Chih-Hong Yao
Physica D: Nonlinear Phenomena 378-379 1 - 19 2018年
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Reaction, diffusion and non-local interaction 査読
Hirokazu Ninomiya, Yoshitaro Tanaka, Hiroko Yamamoto
JOURNAL OF MATHEMATICAL BIOLOGY 75 ( 5 ) 1203 - 1233 2017年11月
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Vanishing, moving and immovable interfaces in fast reaction limits 査読
M. Iida, H. Monobe, H. Murakawa, H. Ninomiya
JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS 263 ( 5 ) 2715 - 2735 2017年9月
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Mathematical approach to nonlocal interactions using a reaction-diffusion system 招待 査読
Yoshitaro Tanaka, Hiroko Yamamoto, Hirokazu Ninomiya
DEVELOPMENT GROWTH & DIFFERENTIATION 59 ( 5 ) 388 - 395 2017年6月
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Existence of Rotating Spots with Spatially Dependent Feedback in the Plane in a Wave Front Interaction Model 査読
Yan-Yu Chen, Jong-Shenq Guo, Hirokazu Ninomiya
JOURNAL OF DYNAMICS AND DIFFERENTIAL EQUATIONS 29 ( 2 ) 465 - 483 2017年6月
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TRAVELING WAVE SOLUTIONS WITH CONVEX DOMAINS FOR A FREE BOUNDARY PROBLEM 査読
Harunori Monobe, Hirokazu Ninomiya
DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS 37 ( 2 ) 905 - 914 2017年2月
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TRAVELING CURVED WAVES IN TWO-DIMENSIONAL EXCITABLE MEDIA 査読
Hirokazu Ninomiya, Chang-Hong Wu
SIAM JOURNAL ON MATHEMATICAL ANALYSIS 49 ( 2 ) 777 - 817 2017年
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A reaction diffusion model for understanding phyllotactic formation 査読
Yoshitaro Tanaka, Masayasu Mimura, Hirokazu Ninomiya
JAPAN JOURNAL OF INDUSTRIAL AND APPLIED MATHEMATICS 33 ( 1 ) 183 - 205 2016年2月
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Traveling spots on multi-dimensional excitable media 査読 国際誌
Y.-Y. Chen, H. Ninomiya and R. Taguchi
Journal of Elliptic and Parabolic Equations 1 281 - 305 2015年
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EIGENVALUES OF THE LAPLACE-BELTRAMI OPERATOR ON A LARGE SPHERICAL CAP UNDER THE ROBIN PROBLEM 査読
Yoshitsugu Kabeya, Tatsuki Kawakami, Atsushi Kosaka, Hirokazu Ninomiya
KODAI MATHEMATICAL JOURNAL 37 ( 3 ) 620 - 645 2014年10月
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MULTIPLE EXISTENCE OF TRAVELING WAVES OF A FREE BOUNDARY PROBLEM DESCRIBING CELL MOTILITY 査読
Harunori Monobe, Hirokazu Ninomiya
DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS-SERIES B 19 ( 3 ) 789 - 799 2014年5月
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TRAVELING SPOTS AND TRAVELING FINGERS IN SINGULAR LIMIT PROBLEMS OF REACTION-DIFFUSION SYSTEMS
Yan-Yu Chen, Yoshihito Kohsaka, Hirokazu Ninomiya
DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS-SERIES B 19 ( 3 ) 697 - 714 2014年5月
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The behavior of the interfaces in the fast reaction limits of some reaction-diffusion systems with unbalanced interactions
数理解析研究所講究録 1892 88 - 94 2014年4月
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飯田 雅人, 二宮 広和
数学 66 ( 3 ) 225 - 248 2014年
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CONVERGENCE AND BLOW-UP OF SOLUTIONS FOR A COMPLEX-VALUED HEAT EQUATION WITH A QUADRATIC NONLINEARITY 査読
Jong-Shenq Guo, Hirokazu Ninomiya, Masahiko Shimojo, Eiji Yanagida
TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 365 ( 5 ) 2447 - 2467 2013年5月
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EXISTENCE OF A ROTATING WAVE PATTERN IN A DISK FOR A WAVE FRONT INTERACTION MODEL 査読
Jong-Shenq Guo, Hirokazu Ninomiya, Chin-Chin Wu
COMMUNICATIONS ON PURE AND APPLIED ANALYSIS 12 ( 2 ) 1049 - 1063 2013年3月
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A free boundary problem in a singular limit of a three-component reaction-diffusion system 査読
MURAKAWA Hideki, NINOMIYA Hirokazu
数理解析研究所講究録別冊 = RIMS Kokyuroku Bessatsu B35 77 - 93 2012年12月
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Existence and uniqueness of rigidly rotating spiral waves by a wave front interaction model 査読
Yan-Yu Chen, Jong-Shenq Guo, Hirokazu Ninomiya
PHYSICA D-NONLINEAR PHENOMENA 241 ( 20 ) 1758 - 1766 2012年10月
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Fast reaction limit of a three-component reaction-diffusion system
H. Murakawa, H. Ninomiya
JOURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS 379 ( 1 ) 150 - 170 2011年7月
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STACKED FRONTS FOR COOPERATIVE SYSTEMS WITH EQUAL DIFFUSION COEFFICIENTS
Masato Iida, Roger Lui, Hirokazu Ninomiya
SIAM JOURNAL ON MATHEMATICAL ANALYSIS 43 ( 3 ) 1369 - 1389 2011年
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IMPERFECT BIFURCATIONS IN NONLINEAR ELLIPTIC EQUATIONS ON SPHERICAL CAPS
Catherine Bandle, Yoshitsugu Kabeya, Hirokazu Ninomiya
COMMUNICATIONS ON PURE AND APPLIED ANALYSIS 9 ( 5 ) 1189 - 1208 2010年9月
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Existence and uniqueness of stabilized propagating wave segments in wave front interaction model
Jong-Shenq Guo, Hirokazu Ninomiya, Je-Chiang Tsai
PHYSICA D-NONLINEAR PHENOMENA 239 ( 3-4 ) 230 - 239 2010年2月
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Traveling wave solutions and entire solutions to reaction-diffusion equations
H.Ninomiya, Y. Morita
SUGAKU Expositions 23 ( 2 ) 213-233 2010年
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Fast Reaction Limit of Competition-Diffusion Systems
Danielle Hilhorst, Masayasu Mimura, Hirokazu Ninomiya
Handbook of Differential Equations: Evolutionary Equations 5 105 - 168 2009年
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Monotone-type traveling waves of bistable reaction-diffusion equations in the multi-dimensional space
Y. Morita and H. Ninomiya
Bulletin of the Institute of Mathematics 3 ( 4 ) 567-584 2008年4月
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Relative compactness in L^p of solutions of some 2m components competition-diffusion systems
D. Hilhorst, M. Iida, M. Mimura and H. Ninomiya
Discrete and continuous dynamical systems 21 ( 1 ) 233-244 2008年4月
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Fundamental properties of solutions to a scalar-field type equation on the unit sphere 査読
Yoshitsugu Kabeya, Hirokazu Ninomiya
Recent Advances in Nonlinear Analysis 135 - 144 2008年1月
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反応拡散方程式における進行波解と全域解
森田 善久,二宮 広和
数学 59 ( 3 ) 225-243 2007年4月
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Traveling waves with paraboloid like interfaces for balanced bistable dynamics
Xinfu Chen, Jong-Shenq Guo, Francois Hamel, Hirokazu Ninomiya, Jean-Michel Roquejoffre
ANNALES DE L INSTITUT HENRI POINCARE-ANALYSE NON LINEAIRE 24 ( 3 ) 369 - 393 2007年
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Entire solutions with merging fronts to reaction-diffusion equations.
Y. Morita and H. Ninomiya
J. Dynam. Differential Equations 18 ( 4 ) 841-861 - 861 2006年10月
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Diffusion, cross-diffusion and competitive interaction
Masato Iida, Masayasu Mimura, Hirokazu Ninomiya
JOURNAL OF MATHEMATICAL BIOLOGY 53 ( 4 ) 617 - 641 2006年10月
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On p-homogeneous systems of differential equations and their linear perturbations
H. Ninomiya and H. F. Weinberger
Applicable Analysis 85 225-246 2006年4月
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Global stability of traveling curved fronts in the Allen-Cahn equations
H. Ninomiya and M. Taniguchi
Discrete and continuous dynamical systems. 15 ( 3 ) 819-832 - 832 2006年4月
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Dirichlet boundary conditions can prevent blow-up in reaction-diffusion equations and systems
Marek Fila, Hirokazu Ninomiya, Juan Luis Vázquez
Discrete and Continuous Dynamical Systems 14 ( 1 ) 63 - 74 2006年1月
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Entire solutions of react ion-diffusion equations with balanced bistable nonlinearities
Xinfu Chen, Jong-Shenq Guo, Hirokazu Ninomiya
PROCEEDINGS OF THE ROYAL SOCIETY OF EDINBURGH SECTION A-MATHEMATICS 136 1207 - 1237 2006年
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Traveling curved fronts of anisotropic curvature flows
Yoshiko Marutani, Hirokazu Ninomiya, Rémi Weidenfeld
Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics 23 ( 1 ) 83 - 104 2006年
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Mathematical analysis of complex phenomena in life sciences(学術会合報告)
二宮 広和
応用数理 16 ( 2 ) 184 - 184 2006年
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Reaction versus diffusion: blow-up induced and inhibited by diffusivity
M Fila, H Ninomiya
RUSSIAN MATHEMATICAL SURVEYS 60 ( 6 ) 1217 - 1235 2005年11月
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Existence and global stability of traveling curved fronts in the Allen-Cahn equations
H Ninomiya, M Taniguchi
JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS 213 ( 1 ) 204 - 233 2005年6月
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Inward linear perturbation can produce unbounded solutions
H Ninomiya, HF Weinberger
MATHEMATICAL METHODS IN THE APPLIED SCIENCES 27 ( 15 ) 1815 - 1818 2004年10月
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Spatial segregation limit of a competition-diffusion system with Dirichlet boundary conditions
ECM Crooks, EN Dancer, D Hilhorst, M Mimura, H Ninomiya
NONLINEAR ANALYSIS-REAL WORLD APPLICATIONS 5 ( 4 ) 645 - 665 2004年9月
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Some entire solutions of the Allen-Cahn equation
Yukitaka Fukao, Yoshihisa Morita, Hirokazu Ninomiya
Taiwanese Journal of Mathematics 8 ( 1 ) 15 - 32 2004年
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Pest control may make the pest population explode
H Ninomiya, HF Weinberger
ZEITSCHRIFT FUR ANGEWANDTE MATHEMATIK UND PHYSIK 54 ( 5 ) 869 - 873 2003年9月
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Imperfect bifurcations arising from elliptic boundary value problems
Y Kabeya, H Morishita, H Ninomiya
NONLINEAR ANALYSIS-THEORY METHODS & APPLICATIONS 48 ( 5 ) 663 - 684 2002年2月
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A competition-diffusion system approximation to the classical two-phase Stefan problem - To the memory of Professor Masaya Yamaguti 査読
D Hilhorst, M Iida, M Mimura, H Ninomiya
JAPAN JOURNAL OF INDUSTRIAL AND APPLIED MATHEMATICS 18 ( 2 ) 161 - 180 2001年6月
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Stability of traveling curved fronts in a curvature flow with driving force.
H. Ninomiya and M. Taniguchi
Methods Appl. Anal 8 ( 3 ) 429-449 2001年4月
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A reaction-diffusion system approximation to the two-phase Stefan problem
D. Hilhorst, M. Iida, M. Mimura and H. Ninomiya
Nonlinear Analysis TMA 47 801-812 2001年4月
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A competition-diffusion system approximation to the classical two-phase Stefan problem.Recent topics in mathematics moving toward science and engineering.
D. Hilhorst, M. Iida, M. Mimura and H. Ninomiya
Japan J. Indust. Appl. Math 18 ( 2 ) 161-180 2001年4月
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Traveling curved fronts of a mean curvature flow with constant driving force
H. Ninomiya, and M. Taniguchi
GAKUTO International Series,Mathematical Sciences and Applications Vol.13 ``FREE BOUNDARY PROBLEMS: Theory and Applications I'' 13 206-221 - 221 2000年4月
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Critical Exponent for the Bipolar Blowup in a Semilinear Parabolic Equation
Noriko Mizoguchi, Hirokazu Ninomiya, Eiji Yanagida
Journal of Mathematical Analysis and Applications 218 ( 2 ) 495 - 518 1998年2月
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Diffusion-induced blowup in a nonlinear parabolic system
Noriko Mizoguchi, Hirokazu Ninomiya, Eiji Yanagida
Journal of Dynamics and Differential Equations 10 ( 4 ) 619 - 638 1998年
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Diffusion-induced extinction of a superior species in a competition system
Masato Iida, Tatsuya Muramatsu, Hirokazu Ninomiya, Eiji Yanagida
Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics 15 ( 2 ) 233 - 252 1998年
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Asymptotic expansion of solutions to a chemical model with boundary reaction terms
M. Iida and H. Ninomiya
Funkcialaj Ekvacioj 39 ( 1 ) 39-67 1996年4月
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Separatrices of competition-diffusion equations
H. Ninomiya
Journal of Mathematics of Kyoto University 35 ( 3 ) 539-567 - 567 1995年4月
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NONLINEAR PERTURBATION OF BOUNDARY-VALUES FOR REACTION-DIFFUSION SYSTEMS - INERTIAL MANIFOLDS AND THEIR APPLICATIONS
Y MORITA, H NINOMIYA, E YANAGIDA
SIAM JOURNAL ON MATHEMATICAL ANALYSIS 25 ( 5 ) 1320 - 1356 1994年9月
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Some remarks on inertial manifolds
H. Ninomiya
Journal of Mathematics of Kyoto University 32 ( 4 ) 667-688 1992年4月
書籍等出版物
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侵入・伝播と拡散方程式
（ 担当： 単著）
共立出版 2014年
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"Recent Advances on Elliptic and Parabolic Issues, Swiss-Japanese Seminar Zurich, December 2004 Switzerland"
M. Chipot and H. Ninomiya（ 担当： 共著）
World Scientific Publishing Co. SINGAPORE 2006年4月
MISC
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Bifurcating solutions of a nonlinear elliptic Neumann problem on large spherical caps 査読
カトリーヌ バンドレ, 壁谷 喜継, 二宮 広和
Funkcialaj Ekvacioj 62 2019年
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二宮 広和
数理解析研究所講究録 1881 134 - 138 2014年4月
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二宮 広和
数理解析研究所講究録 1693 99 - 103 2010年6月
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On the singular limit methods (第4回生物数学の理論とその応用 RIMS研究集会報告集)
二宮 広和
数理解析研究所講究録 1597 56 - 61 2008年5月
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Bandle Catherine, 壁谷 喜継, 二宮 広和
数理解析研究所講究録 1588 74 - 86 2008年4月
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Traveling wave solutions of the Allen-Cahn equations (微分方程式の粘性解理論とその発展--RIMS研究集会報告集)
二宮 広和
数理解析研究所講究録 1545 112 - 121 2007年4月
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飯田 雅人, 三村 真泰, 二宮 広和
数理解析研究所講究録 1499 50 - 72 2006年7月
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飯田 雅人, 三村 昌泰, 二宮 広和
数理解析研究所講究録 1436 167 - 186 2005年6月
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二宮 広和, Weidenfeld Remi
数理解析研究所講究録 1416 120 - 127 2005年2月
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二宮 広和, 谷口 雅治
数理解析研究所講究録 1323 27 - 32 2003年5月
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A reaction-diffusion system approximation (Free Boundary Problems)
二宮 広和
数理解析研究所講究録 1210 1 - 7 2001年5月
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Inertial Manifoldとその応用(Phase transitionと最適制御)
二宮 広和
数理解析研究所講究録 812 41 - 55 1992年10月
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小さな非線型境界条件をもつ反応拡散方程式に対するinertial manifoldの存在と応用(偏微分方程式の解の構造の研究)
森田 善久, 二宮 広和, 柳田 英二
数理解析研究所講究録 795 8 - 32 1992年7月
受賞
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第１９回（２０２０年度）解析学賞
2020年 日本数学会
共同研究・競争的資金等の研究課題
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放物型偏微分方程式における動的特異性の解析
研究課題/領域番号：22H01131 2022年4月 - 2027年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(B)
柳田 英二, 岡田 いず海, 高橋 仁, 菅 徹, 二宮 広和
配分額：16770000円 （ 直接経費：12900000円 、 間接経費：3870000円 ）
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放物型偏微分方程式における動的特異性の解析
研究課題/領域番号：23K22402 2022年4月 - 2027年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(B)
柳田 英二, 岡田 いず海, 高橋 仁, 菅 徹, 二宮 広和
配分額：16770000円 （ 直接経費：12900000円 、 間接経費：3870000円 ）
一次元非線形熱方程式において，移動する特異点の近傍で拡散効果が退化する場合について研究を進め，初期値問題の解の存在と一意性のための十分条件を明らかにし，解の性質についての研究を完成させた．また，特異進行波解 (特異性を保持したまま形状を変えずに一定速度で移動する解)の存在，形状およびその分類に関する研究を進めた.
べき乗型の吸収項をもつ非線形熱方程式に対し, 動的特異点を持つ解を考察した. 特に空間1次元において, 特異点の動きが1/2-ヘルダー連続あるいはそれより激しい場合の解の挙動を調べた. 特異点の周りでスケール変換を行った後の極限として得られる常微分方程式の解析を行うことで, 解の特異点周りでの漸近的振る舞いを特定した.
Sobolev優臨界な半線形熱方程式の解の爆発問題について，解の上限ノルムが有限時間で発散するとき臨界ノルムも爆発するか，という臨界ノルム爆発問題を肯定的に解決した．
除細動のように，カオスが起きるような反応拡散系に大きな摂動を加えると，安定な状態に戻ることが観察される．この状況を数学的に理解するために，カオスが起きるような複素Ginzburg-Landau方程式の解に大きな摂動を加えることで，必ず安定周期解に収束することを示した．また，等拡散でTuring不安定性が起きるような反応拡散系の例を構成した．
多次元整数格子の単純ランダムウォーク及びブラウン運動のlocal time(局所時間)、さらには軌跡のcapacity(容量)の長時間挙動に関する極限定理(大数の法則や大偏差原理)について結果を得た.またこれに関連して，異常拡散を伴う方程式系についての研究を開始した． -
等エネルギー型反応拡散方程式における長軸と短軸をもつ凸図形を切断面とする進行波
研究課題/領域番号：20K03702 2020年4月 - 2024年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
谷口 雅治, 二宮 広和
配分額：4420000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：1020000円 ）
等エネルギー型反応拡散方程式において，「長軸と短軸をもつ凸図形を切断面とする進行波」の存在を証明することが本研究の目的である。反応項が等エネルギー型である場合，1次元進行波は速度ゼロの Standing Frontとなる。この場合，2次元以上の空間において進行波は進行軸にたいして軸対称なもの存在することが Chen, Guo, Ninomiya, Hamel and Roquejoffre (ANIHPC 2007)により証明された。進行軸にたいして非対称な形状をもつ進行波が存在するかどうかは未解決であった。本研究では，等高面の切断面が「長軸と短軸をもつ凸図形をなす進行波」が存在することを証明した。この成果は Taniguchi (ANIHPC 2019)に掲載された。ある高さでの等高面の切断面に対して，長軸と短軸の比を任意に設定した場合，そのような進行波が存在することを示したものである。一方，長軸と短軸の数値を任意に設定した場合，高さを適当に定めることにより，そのような凸図形を切断面とする進行波が存在するかどうかという問題が新規に得られた。この問題に対して肯定的な解答が本研究で得られた。
また，上記の進行波解について，等高面の切断面の形状が，漸近的にどのようになっているかという課題は未解決であり，現在この課題に取り組んでいる。
2022年3月にドイツのベルリンにおいて SIAM Conference on Analysis of Partial Differential Equations (PD22) が開催され，私は招待講演を行った。2022年7月においては，カナダのBanff International Research Stationにおいて研究集会が開催される。この研究集会に参加し，国内外の研究者と情報交換とディスカッションを行う予定である。また2022年12月にカナダのバンクーバーで開催される研究集会PRIMA2022において招待講演をおこなう予定である。今後も国内外の研究者と情報交換とディスカッションを行いつつ，本研究を推進する。 -
反応拡散系とその特異極限系に現れるパターンダイナミクスの数理解析
研究課題/領域番号：20H01816 2020年4月 - 2024年3月
日本学術振興会 基盤研究B 基盤研究(B)
二宮 広和, 飯田 雅人, 谷口 雅治, 三竹 大寿, 物部 治徳
担当区分：研究代表者
配分額：17420000円 （ 直接経費：13400000円 、 間接経費：4020000円 ）
非線形放物型偏微分方程式の解のダイナミクスを決定することは，非線形放物型偏微分方程式の理論的研究における重要な問題のひとつである．しかし，比較的簡単と考えられる反応拡散系でさえ，解のダイナミクスを決定できていないのが現状である．本研究課題では，反応拡散系の解のダイナミクスを決定するための解析手法の開発と普遍的な数理構造の抽出を行うことを目的としている．反応拡散系の解の普遍的数理構造を抽出するにあたっては，未知変数の数，反応項（非線形項），空間の次元，領域が主要なパラメータとなる．解のダイナミクスを決定するアトラクターを調べることは，その要素である全域解の特徴付けることに対応しているので，前述の主要なパラメータを変えることで，次の３つのテーマを扱う．
（１）単独反応拡散系の全域解の特徴付け
（２）特異極限系の適切性・収束性・全域解の特徴付け
（３）複雑領域におけるパターンダイナミクスの数理解析
（１）では，多次元双安定単独反応拡散系の進行波解の解析を行った．また，全域解と進行波解の関係を調べた．（２）では，反応拡散系の特異極限系である反応界面系の解の挙動に関する研究を行い，1次元の場合にその挙動を分類することに成功した．また，Hamilton-Jacobi方程式の全域解の特徴付けについて研究を進めた．また，反応拡散系から非線形波動方程式を導出する手法の開発を行った．（３）の準備として，多次元界面方程式を扱うために，多層界面方程式を考察する手法を開発し論文に発表した．
また，明治非線型数理セミナーおよび明治非線型数理セミナー・秋の学校（2020年 11月22日(日) ～ 11月24日(火)）を開催し，情報収集とともに研究成果の公表していった． -
不整脈および除細動のための数学的基盤整備
2016年7月 - 2019年3月
基盤研究Ｂ（特設分野）
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非線形放物型偏微分方程式の解の複素特異点とパターン形成の関係
2016年4月 - 2019年3月
挑戦的萌芽研究
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漸近解構築に基づく反応拡散系の解の形と動きの解明
研究課題/領域番号：15K04963 2015年4月 - 2019年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
飯田 雅人, 二宮 広和
配分額：4680000円 （ 直接経費：3600000円 、 間接経費：1080000円 ）
反応拡散系は、生成・消滅・相互作用するモノたちの集団の密度分布が拡散によって移り変わる様子を記述する数理モデルである。反応拡散系の解として、密度分布の様々な動的パターンが現れることが、計算機シミュレーションによって予想されている。然るに、実在することが証明された動的パターンは未だ少なく、その点で反応拡散系の理論は開発途上にあると云える。
本研究では、角張った形状の動的パターン、及び各段差が異なる速度で移動する階段型形状の動的パターンが反応拡散系に発生する機構を理論的に明らかにするため、これらの特徴を抽出した漸近解と呼ばれる近似解の構成と挙動の解析に役立つ理論的基盤を整備した。 -
反応拡散系および自由境界問題の解のパターンダイナミクスの解明
研究課題/領域番号：26287024 2014年4月 - 2018年3月
日本学術振興会 基盤研究Ｂ 基盤研究(B)
二宮 広和, 飯田 雅人, 矢崎 成俊, 高坂 良史, 谷口 雅治, 三竹 大寿, 物部 治徳
担当区分：研究代表者
反応拡散系などの非線形偏微分方程式系の形状のある解を捉えるために，境界の方程式と場の方程式により構成される「反応界面系」という枠組みを導入した．この方程式系は，特異極限問題から得られる自由境界問題の一種である．その方程式系の多次元進行波解の存在証明や1次元解のダイナミクスを調べることに成功した．また，異方的な外力をもつ平均曲率流問題では，異方性のパラメータが形状にもたらす影響を調べることにも成功した．多次元の形状を数理的に調べる手法として，多層化方程式の概念の導入にも成功した．
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心室細動における自発的スパイラル波の生成メカニズムの解明
研究課題/領域番号：25610036 2013年4月 - 2016年3月
日本学術振興会 挑戦的萌芽研究 挑戦的萌芽研究
二宮 広和, 稲垣 正司, 上山 大信
担当区分：研究代表者
２次元領域のFitzHugh-Nagumo方程式では障害物によって自発的にスパイラルが形成されることがある．障害物の幾何学的形状と自発的スパイラル波形成の関係を数学的に明らかにするために新しい自由境界問題を導出した．自発的スパイラル波形成において，進行スポット解が重要な役割を果たしていることがわかり，この自由境界問題における進行スポット解の存在証明を行った．複数の障害物による影響についても調べた．更に一般的な障害物を含む非一様場における興奮波の伝播についても化学実験とそのモデルの数値シミュレーションの両面から研究を行い，非一様性を起因とする興奮波伝播の一方向性の重要性を指摘した．
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反応拡散系の漸近解構築への理論的アプローチ
研究課題/領域番号：24540216 2012年4月 - 2015年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
飯田 雅人, 二宮 広和, 辻川 亨
配分額：5070000円 （ 直接経費：3900000円 、 間接経費：1170000円 ）
反応拡散系に現れるさまざまな特徴的な形状を持つ解の多くは、その存在が数値実験では示唆されているものの、理論的には未検証である。本研究課題では、角遷移層を持つ解と、数理生態学における多種個体群の多段階侵入を表す解に対し、解の形と動きを近似する漸近解の構築理論を作る際に役立つ重要な情報が、以下のとおり得られた。(1)複数の反応拡散系の特異極限における解形状や解構造を統一的に説明できる観点を導入し、角遷移層が特異極限として現れる可能性を判断する手がかりを得た。(2)多種協調拡散系の多段階侵入を表す漸近解の構成単位の候補として有力視される単一波形解について、存在・安定性等の大域構造を明らかにした。
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楕円関数を用いた陽的解表示による形状と大域的分岐構造の研究
研究課題/領域番号：24540221 2012年4月 - 2015年3月
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
四ツ谷 晶二, 森田 善久, 松本 和一郎, 二宮 広和
配分額：5070000円 （ 直接経費：3900000円 、 間接経費：1170000円 ）
楕円関数を用いて微分方程式のすべての候補となる解の表示式を求め,それをもとに大域的分岐構造を凝縮した超越方程式を導き解析するという,独自の手法を深化させさまざまに適用範囲を拡げることができた.cross-diffusion方程式については,空間1次元の場合の楕円関数による解表示から示唆を得た，空間多次元の場合の定常解の存在と安定性に関する結果を得た．線形化固有値問題については，Allen-Cahn型の反応拡散方程式の場合に，線形化固有値問題の固有値を決定する固有方程式を発見し，すべての固有値と固有関数の表示式を厳密に求めた．
さらに，拡散係数が零に近づいたときの固有値の漸近公式も得た． -
非平衡成長パターンを実現する疑似解と方程式集合の構成
研究課題/領域番号：23654042 2011年4月 - 2014年3月
日本学術振興会 挑戦的萌芽研究 挑戦的萌芽研究
二宮 広和, 上山 大信, 若狭 徹
担当区分：研究代表者
非平衡成長パターンの疑似解の構成にあたり，興奮場における自発的スパイラル形成を取り上げた．上山らは，光BZ反応による実験や数値計算によって，非一様なミクロ状態がマクロなスパイラル形成に与える影響を調べた．二宮らは，FitzHugh-Nagumo方程式の疑似解として，wave front interaction model を取り上げ，回転スポット解，回転スパイラル解などの構成を行った．これらの研究をもとに，FitzHugh-Nagumo型方程式の特異極限問題の進行スポット解の構成に成功した．これにより，2次元における自発的スパイラル形成メカニズムが説明できるようになった．
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完全楕円積分を含む超越方程式に帰着される微分方程式と大域的解構造
研究課題/領域番号：21540232 2009年 - 2011年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
四ツ谷 晶二, 森田 善久, 松本 和一郎, 二宮 広和
配分額：4420000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：1020000円 ）
古典的な楕円関数を用いて,微分方程式のすべての解の表示式を求め,それをもとに大域的分岐構造を凝縮した超越方程式を導き詳しく解析するという,全く独自の手法を深化させ適用範囲を拡げることができた.特に, cross-diffusion方程式については, 1次元の場合に超越方程式の巧みな解析法を発見し解の全体構造の数学的証明が可能となった.さらにこの知見をもとに,解の安定性について高次元も含めて解決の端緒を得た.また,面積制約条件付平面弾性曲線の曲率の爆発現象を明らかにできこれにより解の全体像が完全に分かった.
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多次元空間における反応拡散方程式の全域解の特徴付けと存在理論の構築
研究課題/領域番号：21654025 2009年 - 2011年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 挑戦的萌芽研究
森田 善久, 二宮 広和
配分額：3200000円 （ 直接経費：2900000円 、 間接経費：300000円 ）
反応拡散方程式はパターン形成や,パターンダイナミクスとよばれる空間的に特徴的な形状が時間的に伝播する現象を記述するモデル方程式として知られている.今回の研究では特徴的な形状を保ちながら進行していく全域解について,その新しい存在理論と空間的形状の数学的特徴づけを目指して研究を行った.具体的な成果として,いくつかのタイプの反応拡散方程式について,新しい性質の解の存在や安定性を数学的に証明した.
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反応拡散系の解の大域的挙動と非線形性の分類
2008年 - 2010年
基盤研究 (C)
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界面を追跡しやすい反応拡散系の構築
研究課題/領域番号：20540200 2008年 - 2010年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
飯田 雅人, 辻川 亨, 大塚 浩史, 矢崎 成俊, 二宮 広和
配分額：4420000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：1020000円 ）
互いに競争的な関係にある複数種の生物集団の空間的な棲み分けを記述する自由境界問題は、実は反応拡散系のある種の特異極限と見なすことができる。この事実に対する数学的な裏付けが得られた。また、互いに協調的関係にある複数種の生物集団が段階的に次々と侵入していく現象を表す数理モデルが、1種の生物集団の単独侵入を表す数理モデルであるFisher型進行波を積み重ねた波形によって近似できることも示される。
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抽象的な代数を援用した偏微分方程式系の研究
研究課題/領域番号：19540202 2007年 - 2010年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
松本 和一郎, 四ツ谷 晶二, 伊藤 敏和, 二宮 広和, 西谷 達雄
配分額：4550000円 （ 直接経費：3500000円 、 間接経費：1050000円 ）
(1)表象に極を認めると、コワレフスキアンに相似であることが南雲型のCauchy=Kowalevskaya定理が成り立つために必要であることを証明した。十分性については、モデルでの証明には成功しているが、一般化するには標準形を改良する必要があることが分かった。(2)係数が時間変数のみに依存する系において「双曲型Fuchsianに一様対角化可能」が強双曲系であるための必要十分条件であることを証明した。(3)p-放物系の新しい定義による研究の成果は不満足であった。
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非線形放物型および楕円型方程式の定性理論の新展開
研究課題/領域番号：19204014 2007年 - 2010年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(A)
柳田 英二, 高木 泉, 内藤 雄基, 小川 卓克, 栄 伸一郎, 石毛 和弘, 田中 和永, 二宮 広和, 利根川 吉廣
配分額：47450000円 （ 直接経費：36500000円 、 間接経費：10950000円 ）
非線形放物型および非線形楕円型方程式の解の構造について定性的な研究を行った.主な研究成果は以下の通りである.まず,ある非線形放物型偏微分方程式おける移動特異点を持つ解の存在とその一意性について調べた.また,特異点の強さがある時刻で変性するような解が存在することを明らかにするとともに,特異点が移動しない場合に解の漸近挙動について調べ,特異定常解に収束するための条件について明らかにした.次に,走化性方程式において,1点に凝集することによって自己相似的に爆発する解の構造について明らかにした.さらに, Gierer-Mienhardt系と呼ばれる反応拡散系に対し,パターン形成に関する数理構造を調べるとともに,時間依存する解の挙動について明らかにした
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未知の定積分項を含む非局所非線形境界値問題の解の安定性と極限形状の研究
研究課題/領域番号：18540224 2006年 - 2008年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
四ツ谷 晶二, 森田 善久, 松本 和一郎, 岡 宏枝, 二宮 広和
配分額：4030000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：630000円 ）
微分方程式の係数の中に解自身の定積分項を含む、非局所非線形境界値問題は、物性物理学や微分幾何学等にあらわれるが、大域的解構造の解明の手法は数年前に研究代表者により突破口が開かれ、今回の研究課題遂行結果、応用範囲が拡がり、手法も深化した。従来未解明であった、Cahn-Hilliard方程式の空間1次元定常解の大域的分岐構造を完全に解明した。さらに、反応拡散方程式の定常解のまわりでの線形化固有値問題の固有値を決定する超越方程式、および、固有関数を表示する方法を発見し、その超越方程式の解析手法を示した。
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反応拡散系における解および非線形性の相互関係
2006年 - 2007年
基盤研究 (C)
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正則1形式に対するPoincare-Hopf型定理とその応用
研究課題/領域番号：16540086 2004年 - 2006年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
伊藤 敏和, 松本 和一郎, 四ツ谷 晶二, 岡 宏枝, 二宮 広和
配分額：3500000円 （ 直接経費：3500000円 ）
ωはD^<2n>(1)⊂C^n,π≧2,の近傍∪で定義された積分可能正則1-形式とする.ωで定義された余次元1正則葉層構造F(ω)がD^<2n>(1)の境界S^<2n-1>(1)に横断的であると仮定する.Mobius変換によってただ1つの特異点Sing(ω)∩D^<2n>(1)が原点0と仮定してよい.
定理([6]F(ω)が次の性質(i)〜(iii)をもつ葉五をもつならば,n=2である.
性質(i)0∈L^^￣
(ii)LはU＼Sing(ω)で閉集合である.
(iii)Lは各球面S^<2n-1>(r),0<r≦1,に横断的である.
ωはD^<2n>(1)⊂Cπ,π≧3,の近傍で定義された正則1-形式で,Sing(ω)∩S^<2n-1>(1)=φをみたすと仮定する.ξはD^<2n>(1)の近傍で定義された正則ベクトル場とする.
定理([7])もしω(ξ)=0かつξがS^<2n-1>(1)に横断的であるならば,ωは積分可能でない.
ベクトル場を大域的に線形化する幾何学的条件とは何かを考察した.
定理([8])C^n,π≧2,上の多項式ベクトル場Xで孤立特異点をもつものを考える.Xの解で定義されるCP(n)上の複素葉層構造F(X)がhyperbolic typeの特異点をもつと仮定する.このとき,次の(i)と(ii)は同値である.
(i)F(X)はC^n上に少なくともπヶのseparatricesをもつ,そしてF(X)は点Pjを中心,半径Rjの球面S^<2n-1>(pj, Rj)⊂C^nに横断的である.ここで,<lim>__<j→∞> Rj=+∞.
(ii)Xは線形ベクトル場である. -
ネットワーク構造に対する非線形解析
研究課題/領域番号：16654032 2004年 - 2006年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 萌芽研究
柳田 英二, 高木 泉, 栄 伸一郎, 二宮 広和
配分額：3200000円 （ 直接経費：3200000円 ）
3重結節点のみからなるネットワークf構造を持つ界面に対し,各弧が平均曲率流に従い,3重結節点ではヤングの法則を満たし,境界とは直交するように接している場合について,界面がどのようなダイナミクスに従うかについて研究を進めた.特に,考える領域の境界の曲率がダイナミクスに及ぼす影響について考察した.本年度は特に,3重結節点が複数ある場合について,定常解の存在条件を明らかにし,その情報から安定性を決定する方法について研究を進め,以下のような成果を上げた.
まず,定常界面の安定性に関する理論的考察を元に,3重結節点が1個の場合について得られている存在条件を帰納法を用いて一般化することにより,複数個の3重結節点を持つ界面の存在条件を明らかにした.さらには,条件を境界からの寄与と内部構造からの寄与の項に分解し,境界の曲率の符号と不安定性次元の関係を明らかにした.
次に,与えられた領域において,負の長さを許した場合の定常状態が存在するための条件と安定性との関わりについて調べた.これは古典的なFermat-Steiner問題と関係する興味深い変分問題であるが,境界条件の違いから自由度の高い難しい問題となる.これまでの研究により,凸領域において複数個の3重結節点を持つ界面に対して定常状態の存在が示されているが,ここでは非凸な領域についても研究を進め,変曲点で退化しない場合には定常解は退化せず,従って双曲的な性質を持つことを明らかにした.
その他,ネットワーク上の領域における線形固有値問題の主固有値の最小化問題,熱方程式の解の臨界点の位置に関する研究を行い,その基本的な性質について詳細に調べた. -
非線形拡散系のダイナミクスと特異性の解析
研究課題/領域番号：15340052 2003年 - 2006年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(B)
柳田 英二, 高木 泉, 千原 浩之, 栄 伸一郎, 溝口 紀子, 二宮 広和
配分額：16100000円 （ 直接経費：16100000円 ）
非線形拡散系のダイナミクスの解析は,特異性が発現するメカニズムとその数理構造の解明が理解の鍵となる.本研究では特に,安定な時空間構造生成のメカニズム,高次元パターンダイナミクス,単独非線形拡散方程式の解の長時間挙動についての研究を進めた.
主な研究成果は以下のとおりである.
・フィッシャー型方程式のフロント解についての研究を行い,特異極限における界面の挙動が,ある種のHamilton-Jabobi方程式のゼロレベル集合として表されることを示した.その結果,初期状態によって界面の挙動を有限時間内では完全にコントロールできることが明らかにした.
・藤田型方程式の解の挙動についての研究を行い,初期値の空間的減衰率と解の増大率あるいは減衰率について精密に評価し,それらの関係を定量的に明らかにした.そのために,原点近傍の解の振る舞いと無限遠近傍での解の振る舞いを形式的な漸近展開で求め,それらの接続条件から解の挙動を推定し,この形式的な議論を元に適当な優解と劣解を構成することによって厳密な証明を与えた.
・符号変化する重みを持つ固有値問題に関連した最小化問題について研究を行い,一般的な状況の下でminimizerの存在とその基本的な性質について明らかにした.またこれを用いて1次元の場合に関する完全な解答を与えた.
・競争型拡散方程式の特異極限と関連する無限区間上の境界値問題についての研究を行い,界面近くでの解の振る舞いを連立の常微分方程式系で表し,その解の漸近挙動を精密に調べた.この解析を元に,元の競争型拡散方程式に適当な優解と劣解を構成し,その結果を用いて,種間競争率を無限大としたときの特異極限が一種の自由境界値問題として表されることを証明した. -
超伝導モデルの数理的研究
研究課題/領域番号：15340037 2003年 - 2005年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(B)
森田 善久, 四ツ谷 晶二, 二宮 広和, 神保 秀一, 町田 昌彦, 笠井 博則, 町田 昌彦
配分額：8400000円 （ 直接経費：8400000円 ）
1.細い一様なループ形状の超伝導体に外部磁場をかけたギンツブルグ・ランダウ(GL)モデルを考える.十分細い場合には1次元モデルで近似でき,超伝導状態は対応するGL方程式の解によって実現される.外部磁場の強さを表現するパラメータとGLパラメータの2つのパラメータについて,このモデル方程式の解の分岐構造を調べた.まず,外部磁場がゼロの特殊な場合について,方程式の全ての解を陽的に表すことに成功し大域的分岐構を完全に決定した.この手法を本来の2パラメータのモデル方程式にも適用し,その大域的分岐構造の解明に成功した.また,非一様な断面積をもつ管状領域の1次元GLモデルについても,非一様性がおよぼす解の形状を位相パターンから特徴付けた.
2.考える領域の幾何学的形状によってGL方程式の解の構造に大きな影響が生じるが,この現象の数学的な理解のため,領域変形による摂動問題と解の安定性を研究した.
3.時間発展のGL方程式について基礎的な研究を遂行した.また,GL方程式に現れる線形化作用素の研究も進めた.
4.GL方程式の研究では変分法が強力な手法としてよく用いられるが,適用にあたっては様々な局面で技術的な困難がつきまとう.ここではGL方程式と共通した構造を持つ反応拡散方程式系について,その遷移層を表す解の解析のために,変分構造に着日した解析手法の体系化を行った.将来的にGL方程式への応用が期待できる.
5.非線形現象を深く研究していくためには数値シミュレーションが欠かせない.BEC凝縮の3次元シミュレーションやGLモデルのシミュレーションなどを通して興味あるパターン・ダイナミクスを調べた.このような現象の数学的な解明はまだ難しいが,簡単なモデル方程式である反応拡散方程式に現れるフロント波や,それが生成・消滅する過程を表す新しい解の構成に成功した. -
非線形偏微分方程式系から現れる樹状形状の解析
研究課題/領域番号：15740076 2003年 - 2005年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 若手研究(B)
二宮 広和
配分額：3700000円 （ 直接経費：3700000円 ）
反応拡散系から現れる樹状形状を研究するため,まず,結晶成長に現れる進行波解について調べた.そのため,結晶成長のモデルの一つであるアレン・カーン方程式を扱った.空間2次元における進行波解の存在およびその漸近安定性について示し,東京工業大学・谷口助教授と共著論文にまとめた.研究目的の一つである異方性を含むモデルに関しては,異方性と外力を含む曲率流モデルのV字型進行波解の存在を示した.また,異方性が強くなると,進行波解は,だんだんと折れ線に近づき,クリスタライン運動に収束することも証明した.
常微分方程式系の解は,すべて有界となるような系であるにもかかわらず,拡散項を付けた反応拡散系には,有限時間で爆発するような解が存在することを「拡散誘導爆発」という.拡散という空間均一化の効果を加えることにより,空間非一様性がどんどん大きくなり,有限時間で爆発してしまう現象であり,パターン形成との関係が深い.この現象は,一体どのような非線形性に対して起きるのか調べるために,常微分方程式系における非線形項と線形項の関係を調べた.ミネソタ大学H.Weinberger氏との共同研究により,非線形項がp次斉次式の場合に線形項が大域的挙動にどのような影響を与えるのかを調べ,論文にまとめた.斉次項をもつ常微分方程式系でも,線形項が様々な影響を与えることがわかった.
拡散だけでなく境界条件も爆発に影響を与える.M.Fila氏,J.L.Vazquez氏との共同研究により斉次ノイマン境界条件では爆発する解があるが,斉次ディリクレ境界条件では爆発しないような系の構成に成功した. -
余次元が2である分岐点の近傍における解構造の数理解析
研究課題/領域番号：15340038 2003年 - 2005年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(B)
池田 勉, 西田 孝明, 池田 榮雄, 森田 善久, 二宮 広和, 長山 雅晴, 阪井 一繁
配分額：7500000円 （ 直接経費：7500000円 ）
研究分担者の長山雅晴を中心にした研究によって,2重分岐点の近傍における解構造を調べる分岐構造解析プログラムを作成した.このプログラムは単安定系と呼ばれる反応拡散方程式系のパルス解の分岐現象を対象とし,2つの機能,すなわち,分岐点からの分岐の枝を発見・構成する機能と分岐の枝を延長する機能を兼ね備えたものである.空間を十分に広く取って周期境界条件の下で問題を扱う.進行パルス解を扱う際に必要な伝播速度Cを決定する方程式はフェーズ・コンディションから与え,方程式系に含まれるパラメータλへの依存性は擬似弧度法(Kellerの方法)で表現する.本プログラムでは,こうして定式化された問題をニュートン法によって解き解{元来の未知変数,C,λ}を求める.なお,定常パルス解から進行パルス解への分岐の場合に現れる2つの零固有値のうちの1つは平行移動に対応する自明な固有値であるが,本研究で開発したプログラムは自明なもの以外の零固有値が2つ現れる状況にも対応できる.
また,研究分担者の西田孝明らは,自然界によく現れるものの限定された問題のみが解明されているに過ぎなかった斜面上を流れる自由表面を持つ流体運動を考察し、定式化された準線形方程式系を解析しHopf分岐が起こっていること,すなわち,周期解が存在することを証明した.
燃焼方程式系に冷却効果と原料供給項を付加したシステムに関しては,燃焼パルス解の存在が数値シミュレーションよって示唆されていることを背景に,定常燃焼パルス解および進行燃焼パルス解の存在とパラメータ依存性の数理解析的な検討を区分的に定数である反応項を与えることによって進めた.さらに,逆方向に走る2つの燃焼パルス解の衝突した際に現れるダイナミクスの分類・整理を進めた. -
未知の定積分項を含む非局所非線形2階楕円型境界値問題の解の大域的構造と安定性
研究課題/領域番号：15540220 2003年 - 2005年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
四ツ谷 晶二, 森田 善久, 松本 和一郎, 岡 宏枝, 二宮 広和, 柳田 英二
配分額：3600000円 （ 直接経費：3600000円 ）
研究課題に対する第1の研究成果は,数理生態学にあらわれるcross-diffusion方程式の極限方程式が,従来知られているものと全く別のタイプの特異解をもち,解の全体構造は非常に豊かであることを論文Lou-Ni-Yotsutani[DCDS 2004]として発表したことである.
この極限方程式は未知の定積分項を含む非局所非線形境界値問題であり,従来全く解析の手段が分からなかったものである.LouおよびNiとの共同研究で2001年ごろ,現代的偏微分方程式論の手法に加えて,その弱点なる部分を克服するため新しい解析方法に気づきはじめ,さらに,方法を深めて,解の全体構造とその背後にある基本的な原理を明らかにした.
解全体を適当なパラメータ空間で表示して,解の分岐構造を理解するために,完全楕円積分の合成,有理関数からなる超越方程式に帰着し,それをじっくり調べるという方法である.
この方法に基づき計算を進めていく際,Maple等の数式処理ソフトの強力な厳密な計算能力を援用し,古典的な解析学・代数学の理論・手法を積極的に取り入れていく.計算は膨大にはなるが,従来は部分的にしか解構造を調べることができないと考えられてきた問題に対しても,解の全体構造をしることができるものである.上記の論文で得られた新しい手法はさまざまの分野にあらわれる未解決の非局所問題の解析,解の大域的分岐構造の解明に有効であることを確認した.
まず,流体力学者Oseen(オセーン)が1927年に発表した2次元ナビエ・ストークス方程式の厳密解の分岐理論的な完全理解を論文Ikeda-Kondo-Okamoto-Yotsutani[CPAA 2003]で示した.さらに,松本・村井と共同で,曲線に関する微分幾何学のひとつの未解決問題に解答を与えた.解答の全容をMatsumoto-Murai-Yotsutani[Pisa,2005]で報告し,論文を作成中である.
研究課題に対する第2の研究成果は,小杉・森田と2件の共著論文Kosugi-Morita-Yotsutani[CPAA 2005,J.Math.Phy.2005]で,超伝導現象を記述するGinzburg-Landau equationの,1次元・周期境界条件のもとでの,定常解の大域的分岐構造を完全に解明したことである. -
抽象的な代数を利用した偏微分方程式系の研究
研究課題/領域番号：13640196 2001年 - 2003年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
松本 和一郎, 森田 善久, 岡 宏枝, 四ツ谷 晶二, 萬代 武史, 二宮 広和
配分額：1700000円 （ 直接経費：1700000円 ）
本研究において目標とした課題は3つある。第1の課題は南雲型への拡張も含めて偏微分方程式系に対するCauchy-Kowalevskayaの定理の必要十分条件を確立することである。本来のCauchy-Kowalevskayaの定理については、より明解な証明を得た。南雲型については必要性の証明の確立と十分性の特別な場合の証明を得た。第2の課題は強双曲系の特徴付けである。Petrovskyの各点的には対角可能だが強双曲系でない例が、双曲的摂動に関して直ちに強双曲系に変わることを得ていたが、その原理が係数が時間変数にのみ依存する系に一般的に成り立つことを示せた。このことの証明には、系に対するFuchs型方程式の初期値問題の可解性を利用する。この可解性の仕組みを一般化することにも成功した。第3の課題はp-parabolic系の時間未来への初期値問題の可解性を示すことである。残念ながらこの課題については解決のアイデアは得たが公表に値する形にまとめるには到らなかった。これらの研究においては、有理型形式的表象が成す非可換環上の計算と、正則な擬微分作用素の世界での計算の比較が本質的役割を果たした。
当初予定していなかった課題として、Kacの問題が浮上した。本研究の重要な手法の一つである非可換環上の行列式理論に関連して、非可換群の研究に深い知見を得たが、それが砂田氏の提唱したKac問題の反例の存在の枠組みに一つの視点を与えた。その結果、従来は非凸な領域でKacの問題が肯定的なものは提出されていなかったが、渡辺氏の数値解析的予想を数学的に証明することにより、凸から非凸へ移り変わるKacの問題が肯定的な一連の領域を具体的に得ることに成功した。 -
非線形楕円型境界値問題の標準形と特異解を含めた解の大域構造の研究
研究課題/領域番号：12640225 2000年 - 2002年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
四ツ谷 晶二, 森田 善久, 二宮 広和, 柳田 英二, 池田 勉, 岡 宏枝
配分額：3500000円 （ 直接経費：3500000円 ）
研究課題に対する第一番目の研究成果として,非線形楕円型境界値問題の標準形の理論を共著論文Kabeya-Yanagida-Yotsutaniとして公刊した.この論文の概要は次の様なものである.
半線形楕円型方程式の正値球対称解に関しては,ここ20年間いろんな領域,境界条件のもとで,個別にいろいろな結果が得られている.方程式や境界条件がわずかにかわるだけで,全く別の計算を必要とする.本論文では,球対称な半線形楕円型方程式に対して,巧妙な変数変換を行うことにより一つの標準形に帰着でき,一見複雑にみえる様々な境界条件も,Dirichlet, Neumann, Robin境界条件と解釈できることを示した.この結果をYanagida-Yotsutaniによる全空間おける解の構造定理と結びつけ,標準形に対する解の構造定理を得た.これにより,従来は未知であった特異解を含めた解の構造を明らかにでき,同時に,統一的な理解を可能とした.
研究課題に対する第二番目の研究成果として,上に述べた標準形の理論の応用し,共著論文山Myogahara-Yanagida-Yotsutaniにおいて,従来は未解明であった,半線形楕円型方程式のballの内部・外部領域における,Dirichlet問題の特異解を含む解の全体構造を明らかにした.
関連する話題として,数理生態学にあらわれるcross-diffusion方程式の極限方程式が,従来知られているものと全く別のタイプの特異解をもつことをLou-Ni-Yotsutani共著論文で示した.現在,さらに詳細な解の構造の解明を進めている.この極限方程式は,未知の定積分項を含む非局所非線形境界値問題であり,従来全く解析の手段が分からなかったものである.この解析で得られた新しい手法は,さまざまの分野にあらわれる,未解決の非局所問題の解析に有効であることが分かってきた.例えば,1927年,流体力学者Oseen(オセーン)が発見した2次元ナビエ・ストークス方程式の厳密解の分岐理論的な完全理解をIkeda-Kondo-Okamoto-Yotsutani共著論文で示している. -
燃焼合成におけるヘリカル波の数理解析
研究課題/領域番号：12440032 2000年 - 2002年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(B)
池田 勉, 二宮 広和, 森田 善久, 池田 榮雄, 長山 雅晴, 阪井 一繁
配分額：11300000円 （ 直接経費：11300000円 ）
燃焼合成反応の数理モデルの数値シミュレーションによる研究を経て,「ヘリカル波の出現機構」を中心に研究を推進してきた.平面進行波から直接ヘリカル波への遷移過程を明らかにするために,簡明な反応項
【numerical formula】
(0<u_<ig><1)を採用して,空間1次元全体,空間2次元帯領域{(x,y);x∈R,0<y<L},空間3次元円柱領域{(x,r,θ);x∈R,0【less than or equal】r<R,0<θ<2π}で考察した.詳細な解析を進めた結果Hopf分岐によって平面進行波から直接ヘリカル波が発現することを示すことができた.分岐構造の概略はつぎのようであることが判明した:
1.平面進行波の安定性解析において,空間2次元問題ではk=2πη/Lがキーパラメータとして現れる.空間3次元ではkがk=R_<nm>に置き換わることを除けば空間2次元の場合と同じである.ここに,R_<nm>は次数nのBessel関数の導関数のm番目の零点である.
2.平面進行波の安定性に関与する固有値は複素共役な固有値ペアのみである.固有値の実部はu_<ig>が小さいときはな負であるがu_<ig>とともに増加し,臨界値u_<ig>=u^<Hopf>(0)で固有値のペアは虚軸を横断的によぎる.このHopf分岐点からは平面振動進行波(k=0)やヘリカル波(k>0)が出現する.
3.関数u^<Hopf>(k)はある正のk_0で最小値をとり,k<k_0の範囲でu^<Hopf>(k)は単調減少,k>k_0ではu^<Hopf>(k)は単調増加である.したがって,空間2次元問題ではu^<Hopf>(2πn/L)<u^<Hopf>(0)ならばn個の反応点を持つヘリカル波が平面進行波から直接安定に分岐し得る.また,空間3次元問題でも,あるmに対してu^<Hopf>(R_<nm>)<u^<Hopf>(0)ならばn個の反応点を持つヘリカル波が平面進行波から直接安定に分岐し得る. -
熱対流におけるパターン選択メカニズムの数理的解明
研究課題/領域番号：12874018 2000年 - 2001年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 萌芽的研究
池田 勉, 二宮 広和, 森田 善久, 西田 孝明
配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）
前年度までに実施された熱平衡解からの分岐現象の数理解析的研究(水平方向の周期の比は1:√<3>,レイリー数が分岐パラメータ)と対流パターンに対応する分岐曲線のニュートン法による追跡によってつぎのことが明らかになった.
(1)臨界レイリー数においては余次元2の分岐が起こり,ロール型の対流パターンと長方形型の対流パターンが分岐すること.
(2)分岐したロール型の対流パターンは,追跡した範囲内においては,安定であること.
(3)分岐直後の長方形型の対流パターンも安定であるが,あるレイリー数における2次分岐を経て不安定化すること.分岐直後の正六角形状の対流パターンは不安定であるが,長方形型の対流パターンから2次分岐した安定解の枝と結合した後は安定になること.
上記の研究成果は,レイリー数が臨界値より大きい場合には安定な対流パターンが多重に存在することも示している.これを受けて,平成13年度には,典型的なレイリー数に対するパターン選択問題を取り上げ,発展方程式系の直接数値シミュレーションによって選択されるパターンを観察するという立場で研究を堆進した.その結果,つぎのようなことが判明した.
(i)臨界値よりやや大きくレイリー数を選ぶと,長方形型パターンが観測されるが、プラントル数Prが小さいとき(例えば,Pr=1)には,長方形型の対流パターンもしばらくの間は持続するものの,いずれはロール型のパターンに変形することが判明した.すなわち,プラントル数が小さいときの,長方形型のパターンが安定に存在する範囲は非常に狭いことが推測される.
(ii)プラントル数Prが大きいとき(例えば,Pr=10)には,長方形型の対流パターンが安定に存在することを臨界値よりやや大きなレイリー数については確認した.レイリー数をしだいに大きくすれば対流パターンも変形されてゆくが,上記の(3)で表現されているような正六角形状のパターンへの接続までには至らなかった. -
反応拡散方程式系における拡散の役割と爆発の関係について
研究課題/領域番号：11740077 1999年 - 2000年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 奨励研究(A)
二宮 広和
配分額：2200000円 （ 直接経費：2200000円 ）
本研究では,拡散の役割を調べるために,反応拡散系における拡散と非線形性の関係を重点的に調べている.特に爆発問題と拡散の役割を重視して研究している.昨年度に引き続き次の3つのテーマを中心に研究を行ってきた.
1.拡散誘導爆発解の爆発指数
2.空間2次元における反応拡散系の極限問題
3.拡散と非線形拡散の関係
テーマ1は,線形項を導入することによって起きる線形誘導爆発問題の爆発指数および拡散誘導爆発指数を数値計算によってそれぞれ求め,興味深い結果を得た.しかし,数学的な証明を付けることにはまだ成功していない.
テーマ2については,2つの側面からアプローチを行った.1つは,界面方程式の運動を記述するのに基本的であると思われる進行波解についての研究,もう1つは,別の種類に極限問題を導出するための予備的な研究である.前者については進行波解の厳密解を求め,すべての進行波解を決定することに成功した.これは,2000年に論文として出版された.また,現在,その進行波解の大域的漸近安定性を調べ,論文として投稿中である.後者については,パルス型界面による相転移問題を考えるため,パルス進行波解の厳密解の構成を行った.
テーマ3については,反応拡散系と非線形拡散を含む方程式系との関係を調べている.これによって,反応拡散系によって非線形拡散を含む方程式系が近似できることが分かった.現在,これについては,論文を作成中である. -
ギンヅブルグ・ランダウ方程式の渦糸の安定性と数値解析
研究課題/領域番号：11640141 1999年 - 2000年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
森田 善久, 岡 宏枝, 池田 勉, 四ツ谷 晶二, 神保 秀一, 二宮 広和
配分額：3700000円 （ 直接経費：3700000円 ）
ノイマン問題のギンヅブルグ・ランダウ方程式に現われる渦糸の安定性は,領域の幾何学的形状に依存していることが知られている。3次元の薄いフィルム上の領域の問題は,2次元の変数係数の方程式で近似し,表面の縦方向の変化は変数の変化に置き換えることができる。森田と神保は,このような係数に非一様性を入れた方程式について安定な渦糸の存在を円盤領域で証明した。
ギンヅブルグ・ランダウ方程式の平衡状態における渦糸(領域が2次元のときは渦点)の配置の問題は非常に重要な問題で,数学的にも興味深い問題を提供している。森田と神保は,あるパラメータの特異極限で,渦点の運動を記述する方程式を導き,詳しい解析を行った。これによって渦点の衝突・消滅の仕方がかなり明らかになり,平衡状態における渦点の可能な配置についても大きな情報が得られた。
このような渦点の運動の研究は,反応拡散系に現われる遷移層の運動の問題と通じる部分が有り,森田は共同研究者との研究で,遷移層の衝突・消滅を新しい手法で調べ過去の結果より精密な評価を得た。また,池田はその共同研究者と遷移層を表わす解やパルス解の分岐構造について詳細な結果を得ている。二宮はその共同研究者と,特異極限で現われる遷移層のダイナミクスを記述した運動方程式について新しい成果を得た。
渦点の場合,特異極限の運動は常微分方程式で記述される。常微分方程式の解の時間的な変化を研究するためには,力学系の研究が欠かせない。森田や岡は,その共同研究者達とある種の常微分方程式の力学系について,大域的な運動やホモクリニック軌道の新しいタイプの分岐についての成果を得た。
ギンヅブルグ・ランダウ方程式の定常問題は楕円型方程式になる。四ツ谷と二宮はその共同研究者達と,楕円型方程式の解の構造についての研究を発展させ,色々な新しい成果を得ている。これらは将来,ギンヅブルグ・ランダウ方程式の研究にも通じると期待できる。
西成は物理的な視点からの研究を発展させた。また石渡とその共同研究者は,非線形問題に対する高度な数値計算法を発展させた。 -
抽象的な代数を利用した偏微分方程式の研究
研究課題/領域番号：11874031 1999年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 萌芽的研究
松本 和一郎, 森田 善久, 岡 宏枝, 四ツ谷 晶二, 二宮 広和
配分額：2200000円 （ 直接経費：2200000円 ）
1. 森田、二宮両研究分担者の研究(裏面の第3、第4の論文)により、従来にも増して拡散方程式における拡散項の役割の解明が重要なことが認識されるようになってきた。そこで、その基礎になる線形拡散方程式系(parabolic system)の基礎理論の整備が急務となり、このテーマを優先して研究した。従来のPetrowskyによるp-parabolic systemの定義は相似変換に不変でないので、p-parabolic systemの定義から考え直さなければならなかった。幸い、我々の微分作用素を成分に持つ行列の重み付きの行列式の理論によりp-parabolic systemの相似変換に不変な新しい自然な定義を確立した。さらに、我々のformal symbolsのクラスにおける擬Jordan標準形の理論により新しい定義の弱い意味での妥当性と、変換行列が滑らかであるという付加的仮定のもとにではあるが、新しい定義によるクラスでCauchy問題のH無限適切性が成り立つことを示すことに成功した(裏面の第2論文)。定義の妥当性を示すために、多くの典型的具体例を構成したが、その多くは今回の科研費で購入した2台のコンピュータにより四ツ谷研究分担者の指揮のもとにアルバイトに依託してさせた数式処理による計算実験により構成できた。
2. 系に対する南雲型のCauchy-Kowalevskayaの定理のための必要十分条件については、研究代表者が「予想」を公表していて、最も簡単な場合には空間次元が1ならば予想の正しいことを証明していた。今年度は、従来、意外と困難であるといわれている多次元化に取り組み、成功した。こちらも、アイデアの多くが、研究代表者の学部卒業研究における数式処理による実験に由来する(大学間交流筑波研究集会で口頭発表、論文作成中、基礎理論は裏面の第1論文)。
3. 双曲系に関する研究においては、特性根の多重度が一定で高々2の場合に、主要部のシンボルの固有ベクトルの陪特性帯に沿っての挙動を明らかにしたが、その結果を解空間の構造の解明に結び付ける作業は未完成で、部分的解明に留まっている。(愛媛大学における研究会で口頭発表)
以上の結果は学術論文にまとめるだけでなく我々の手法のすべてを解説した報告集として公表する。 -
反応拡散系における時空間パターンの数理的研究
研究課題/領域番号：09440075 1997年 - 1999年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(B)
稲葉 寿, 柳田 英二, 高橋 勝雄, 山田 道夫, 柳田 英二, 二宮 広和, 溝口 紀子, 堤 誉志雄, 三村 昌泰, 飯田 雅人, 稲葉 寿
配分額：13500000円 （ 直接経費：13500000円 ）
上記の課題に対して,主に以下のような研究成果を得た.
(1)興奮一抑制系の一般化である歪勾配系に関する研究を行い,ある定常解がエネルギ一汎関数のmin-max点として特徴付けられる場合に,その定常解は他のパラメータにかかわらず,必ず安定となるという結果を得た.また,いわゆるチューリング不安定性との関わりについても明らかにした.
(2)バクテリア(枯草菌)に見られる特徴的な空間パターンのモデルに対して数値シミュレーションを行い,このようなパターンがモデル方程式の解のヒストリーとして出現することを明らかにした.
(3)非線形放物型方程式の有限時問で爆発するような解に対して,爆発点近傍での解の振る舞いについて,交点数減少の原理を用いて新しいタイプの挙動が現れることを示した.
(4)数理生態学における主な問題の一つである2種競争系において,競争係数を無限大にしたときに得られる(特異極限)方程式が,ステファン型自由境界問題に帰着することを、数学的に厳密に正当化した。
(5)数理生物学における形態形成のモデルであるGierer-Meinhardt系に関し,スパイク状の定常解に対する数学的に厳密な安定性解析を行い,安定あるいは不安定であるための条件を明らかにした。 -
反応拡散方程式系における拡散の役割について
研究課題/領域番号：09740134 1997年 - 1998年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 奨励研究(A)
二宮 広和
配分額：2400000円 （ 直接経費：2400000円 ）
本研究では,拡散の役割と非線形性の関係を調べるために,拡散のもつ性質のうち,通常予想されてこなかった意外な側面の発見を行い,それによって拡散のもつ性質を外延しようと試みてきた.現在のところ,拡散の性質が際立った状態で現れる問題に注目して研究を行っている.特に,研究代表者等によって近年発見された拡散誘導現象
反応拡散系に見られる拡散誘導爆発
の仕組みを研究している.爆発問題は,特異性のある問題なので,拡散のもつある性質が,拡大されて導き出されることが予想されるからである.
また,拡散誘導爆発は,拡散の効果によって爆発しない常微分方程式系が爆発することがあることを結論づける興味深い結果である.この結果は単に拡散の役割が空間一様化だけでなく,非線形性との兼ね合いで爆発にまで影響を与えることを述べただけにとどまらず,モデル方程式を建てる際にも拡散のこの意味での役割も考慮に入れる必要があることを示唆している.ここで作られた方程式系は人工的なモデルであったが,数理生物学や化学反応などに現れるモデルにおいても,拡散誘導爆発が見られることが数値計算によって明らかになってきた.
拡散誘導爆発が起きる状況を把握するために,その自己相似解の果たす役割と方程式系の退化の関係を調べている. -
無限次元確率モデルの数学解析
研究課題/領域番号：09640246 1997年 - 1998年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(C)
志賀 徳造, 谷口 雅治, 高岡 浩一郎, 二宮 広和, 盛田 健彦, 内山 耕平
配分額：3000000円 （ 直接経費：3000000円 ）
1. 集団遺伝学において重要な拡散過程モデルである「フレミング・ヴィオ過程」に対して意味のある2つの結果を得た.まず遺伝的要因として突然変異だけでなく自然選択のあるモデルを取り上げ,さらに自然選択の項が非有界な場合を考察した.このモデルに対しては拡散過程としての定義可能性(特に、一意性)さえ未解決の問題であったが、無限次元拡散過程として一意的に構成する問題、定常分布の一意性などはイーシア教授(ユタ大学)との共同研究で証明した。さらに離散的マルコフモデルからの拡散近似や定常分布の一意性の問題も解決した.強い意味でのエルゴード性も成立すると予想されるがこれは未解決である.
さらに自然選択も含めたモデルに対し,時間的可逆分布が存在するクラスの完全な特徴づけをDirichlet spaceの理論を応用することにより与えた.この結果は遺伝子系図のの考察に際して重要な意味をもつ.(志賀)
2. 時空的に変動するランダムな環境におけるランダム・ウオーカーの生存確率の問題に対しては、ボアソン的ノイズをもつ線形確率偏微分方程式との双対的関係を用いて、径数に関する漸近解析を展開し、その結果は古尾谷との共同論文として発表した。さらに「Directed polymer model」の問題は上記の生存確率の問題と数学的内容を共有しており,この立場から高分子モデルの中心極限定理の成否の状況を空間次元とのからみで詳しく調べた。また低次元「Directed polymer model」に対し,分配関数の漸近挙動に関する結果を得た.(志賀)
3. 相互作用のある多粒子の古典力学系に対し、適当なスケール極限をとることにより経験分布は極限分布し収束し、極限分布の密度関数は非線形拡散方程式の解になるという流体力学極限の問題を解決した。(内山)
4. cofinite Fuchsian groupsにおける力学系に対し、それをMarkov systemsとみたときのtransfer operatorsの摂動解析を展開し、数論に関連するエルゴード論の問題を解決した。(盛田)
5. 数理ファイナンスの理論に動機づけられて,連続局所martingaleが一様可積分になるための必要十分条件を与えた.(高岡) -
非線形問題における拡散誘導現象について
研究課題/領域番号：08740135 1996年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 奨励研究(A)
二宮 広和
配分額：1000000円 （ 直接経費：1000000円 ）
反応拡散系の解構造における拡散の役割について調べてきた.拡散は一般に空間一様化に働くように考えられてきた.事実拡散係数が大きいときは非線形方程式でもその類推はある程度正しいことが知られている.しかし,拡散不安定性のように必ずしも空間一様化と考えてはいけないことも知られてきた.これは拡散項を付けることによって,一様な解が不安定化し,解は時間とともに非一様化していくことがあることを示している.拡散不安定性の発見は後のパターン形成の問題に大きな影響を与えたように,拡散の新しい役割を調べることは意義深いことと思われる.
本研究では特に爆発問題と拡散の役割について考察している.常微分方程式系のすべての解は有界であるにも関わらず(実際にはすべての解は原点に収束する),それに拡散項をつけた反応拡散方程式系の解で有限時間に爆発するような方程式系を作った(溝口・柳田氏との共同研究).このような現象を拡散誘導現象と呼ぶことにする.本来,解の爆発は線形問題では生じず,非線形問題特有の現象である.従って爆発の有無という点では拡散の効果はあまり大きいもののように考えられてこなかった.また拡散が空間一様化に働くとすれば常微分方程式系の解に近づき,有界に留まることが期待されるが,上述の結果によって,拡散を省いただけの常微分方程式系からだけでは解の大域的存在を決定できないことが結論づけられる. -
数理物理・数理生物のモデルに関する確率解析
研究課題/領域番号：08454037 1996年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 基盤研究(B)
志賀 徳造, 志賀 啓成, 高岡 浩一郎, 二宮 広和, 村田 実, 内山 耕平
配分額：4500000円 （ 直接経費：4500000円 ）
研究実施計画に基づいて研究を推進し以下で述べる成果を得た。
1)相互作用のある拡散系は、統計物理や数理生物の多くの興味深いモデルを含み、その確率解析は無限次元拡散過程の研究にも重要な意味をもつ。その観点から従来、定常分布が多様に存在する状況下でのエルゴード的挙動を研究してきたが、今回は定常分布が自明な場合または存在しない場合のエルゴード的挙動の研究に取り組み、有限系からの近似におけるエルゴード的挙動に関する新しい結果を得た。(Cox-Greven-志賀)
また、相互作用のある拡散系と一般化された逆正弦法則の問題との関連も明らかになりつつあり、論文として準備中である。(志賀)
2)無限次元線型マルコフ系の新しいクラスを導入し、対応する標本リアプノフ指数の定義可能性の証明およびカップリング径数に関する漸近挙動を調べ、径数が小さい領域では有限系、無限系ともに同一のオーダーをもつことを証明した。(古尾谷-志賀) このアイディアはランダム環境中のランダムウォークの生存確率の漸近解析に適用可能であり、その結果は論文として掲載予定である。(志賀)
3)ランダムウォークおよびブラウン運動について種々の観点から研究を進め、2次元ランダムウォークのポテンシャル核の精密な漸近解析(深井-内山)、さらに時空的観点からのウィーナーテストの問題を解決した。(深井-内山) また、ブラウン運動が導く道空間上のある種の保測変換と数々のブラウン汎関数の同分布性との関連を解明した。(高岡)
4)線型拡散方程式に対する混合問題の非負解の一意性が成り立つための領域の形に関する必要十分条件を与えた。(村田)また、常微分方程式系とそれに拡散項を付けた非線形拡散方程式を解の爆発問題の観点から研究し、常微分方程式系のあらゆる解は原点に収束するのに,その常微分方程式系に拡散を付けた方程式の解は爆発するという興味深い例を見つけた。(二宮) -
無限次元拡散モデルの解析
研究課題/領域番号：07640283 1995年
日本学術振興会 科学研究費助成事業 一般研究(C)
志賀 徳造, 高岡 浩一郎, 二宮 広和, 村田 実, 内山 耕平
配分額：2500000円 （ 直接経費：2500000円 ）
交付申請書に記載した研究実施計画に基づいて研究を推進し以下で述べる成果を得た。
1)相互作用のある拡散系は、無限次元拡散モデルの重要なクラスであり、統計物理や数理生物の多くの興味深いモデルを含んでいる。その拡散系でとくに拡散係数が一般の関数の場合には、定常分布の完全な記述を与えるという定常分布問題は重要かつ未解決である。基礎の空間が立方格子の場合で相互作用が均質的かつ拡散係数が有界のときには、この問題はすでに志賀が解決したが、拡散係数が非有界の場合には一般に前者とは異なる現象が現われることを新たに指摘し、各成分が非負かつ相互作用が不偏ならば定常分布はすべて空間的に均質的であることを証明した。
2)無限次元モデルのエルゴード的挙動を、近似する有限次元モデルから観測する問題に取り組んだ。相互作用が推移的ならば、有限次元モデルから適当な時空スケーリングにより無限系の定常状態のパラメータの揺動を観測できることを相当程度に確立できた。さらに相互作用が再帰的の場合にも2次元では集団平均過程のスケーリング極限の存在を証明した。(T.Cox, A.Grevenとの共同研究として発表予定。)
3)無限次元線型マルコフ系の新しいクラスを導入し、対応する標本リアプノフ指数の定義可能性を証明した。さらに標本リアプノフ指数のカップリング径数に関する漸近挙動を調べ、これについては有限系、無限系ともに同一のオーダーをもつことを証明した。(この結果は古尾谷祐との共同論文として現在まとめている。)
4)多粒子のマルコフ力学系に対する流体力学極限の問題はすでに多くの研究がある。それに対し内山は今回、ある古典力学に従う多粒子系の流体力学極限を調べマクロな運動を支配する非線形拡散方程式の導入に成功した。
5)線型拡散方程式の正値解の一意性問題や競争的非線型拡散方程式などでも村田、二宮により重要な成果を挙げることが出来た。
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